Teorema de Gauss-Markov: AZUL e OLS

Estou lendo o teorema de Guass-Markov na wikipedia e esperava que alguém pudesse me ajudar a descobrir o ponto principal do teorema.

Assumimos um modelo linear, em forma de matriz, é dado por: e nós estamos olhando para o azul, β .

$$y = X\beta +\eta$$ $\widehat\beta$

De acordo com este , gostaria de rotular do e "residual" ε = β - β o "erro". (Ou seja, o oposto do uso na página Gauss-Markov).$\eta = y - X\beta$$\varepsilon = \widehat\beta - \beta$

O estimador OLS (mínimos quadrados ordinários) pode ser derivado como o argumento de .$||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$

Agora, deixe denotar o operador de expectativa. No meu entendimento, o que o teorema de Gauss-Markov nos diz é que, se E ( η ) = 0 e Var ( η ) = σ 2 I , então o argmin, sobre todos os estimadores lineares e imparciais, de E ( | | erro | | 2 2 ) = E ( | | ε | | 2 2 ) é dado pela mesma expressão que o estimador OLS.$\mathbb{E}$$\mathbb{E}(\eta) = 0$$\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$$\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$

Ou seja

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

Meu entendimento está correto? E se sim, você diria que merece uma ênfase mais proeminente no artigo?

$\hat{\beta}$$\hat{\beta}$$Var(\hat{\beta})$

A prova de que o estimador OLS é imparcial pode ser encontrada aqui http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

$Var(\hat{\beta})$

Parece que meu palpite estava correto, como confirmado, por exemplo, na página 375 do livro Econometria Introdutória . Trecho relevante: