Eu tenho uma variável aleatória onde a é distribuído normal ( μ , σ 2 ) . O que posso dizer sobre e ? Uma aproximação também seria útil.
normal-distribution
mathematical-statistics
random-variable
lognormal
logarithm
rocksportrocker
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Respostas:
Se considerarmos a "aproximação" em um sentido bastante geral, podemos chegar a algum lugar.
Temos que supor que não temos uma distribuição normal real, mas algo que é aproximadamente normal, exceto que a densidade não pode ser diferente de zero em uma vizinhança de 0.
Então, vamos dizer que é "aproximadamente normal" (e concentrou-se perto do * média) no sentido de que podemos handwave embora as preocupações sobre a aproximar-0 (e seu subsequente impacto sobre os momentos de log ( um ) , porque um doesn 't' desça perto de 0 '), mas com os mesmos momentos de baixa ordem que a distribuição normal especificada, poderíamos usar a série de Taylor para aproximar os momentos da variável aleatória transformada .uma uma log(a) a
Para alguma transformação , isso envolve a expansão de g ( μ X + X - μ X ) como uma série de Taylor (pense em g ( x + h ) onde μ X está assumindo o papel de ' x ' e X - μ X assume o papel de ' h ') e, em seguida, obtendo as expectativas e, em seguida, computando a variação ou a expectativa do quadrado da expansão (a partir do qual é possível obter a variação).g(X) g(μX+X−μX) g(x+h) μX x X−μX h
A expectativa e variação aproximadas resultantes são:
eE[g(X)]≈g(μX)+g′′(μX)2σ2X
e assim (se eu não cometer nenhum erro), quando :g()=log()
* Para que isso seja uma boa aproximação você geralmente deseja que o desvio padrão de ser bastante pequena em comparação com a média (baixo coeficiente de variação).a
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