Valor esperado e variação do log (a)

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Eu tenho uma variável aleatória X(a)=log(a) onde a é distribuído normal ( μ , σ 2 )N(μ,σ2) . O que posso dizer sobre E(X) e Var(X) ? Uma aproximação também seria útil.

rocksportrocker
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Eu acho que a pergunta era sobre o "inverso" do log-normal, ou seja, onde um rv A normal leva ao log-normal X = exp (A), o questionador estava perguntando sobre a distribuição de X = log (A), que é indefinido (devido às vezes exigir o log de um número negativo). Pode haver alguns resultados para um normal truncado, mas é provável que estejam confusos.
Martin O'Leary
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rocksportrocker, como aponta @Martin O'Leary, não é matematicamente possível ter essa variável , porque log ( a ) é indefinido para valores negativos. No mínimo, você precisa truncar a em algum valor não negativo. Você poderia nos dizer por que você acredita que um pode ser Normal? Xregistro(uma)umauma
whuber

Respostas:

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Se considerarmos a "aproximação" em um sentido bastante geral, podemos chegar a algum lugar.

Temos que supor que não temos uma distribuição normal real, mas algo que é aproximadamente normal, exceto que a densidade não pode ser diferente de zero em uma vizinhança de 0.

Então, vamos dizer que é "aproximadamente normal" (e concentrou-se perto do * média) no sentido de que podemos handwave embora as preocupações sobre a aproximar-0 (e seu subsequente impacto sobre os momentos de log ( um ) , porque um doesn 't' desça perto de 0 '), mas com os mesmos momentos de baixa ordem que a distribuição normal especificada, poderíamos usar a série de Taylor para aproximar os momentos da variável aleatória transformada .umaumalog(a)a

Para alguma transformação , isso envolve a expansão de g ( μ X + X - μ X ) como uma série de Taylor (pense em g ( x + h ) onde μ X está assumindo o papel de ' x ' e X - μ X assume o papel de ' h ') e, em seguida, obtendo as expectativas e, em seguida, computando a variação ou a expectativa do quadrado da expansão (a partir do qual é possível obter a variação).g(X)g(μX+XμX)g(x+h)μXxXμXh

A expectativa e variação aproximadas resultantes são:

eE[g(X)]g(μX)+g(μX)2σX2

Var[g(X)](g(μX))2σX2

e assim (se eu não cometer nenhum erro), quando :g()=log()

E[log(a)]log(μa)σa22μa2

Var[log(a)]σa2/μa2

* Para que isso seja uma boa aproximação você geralmente deseja que o desvio padrão de ser bastante pequena em comparação com a média (baixo coeficiente de variação).a

Glen_b -Reinstate Monica
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Como a série de Taylor para log possui um raio de convergência relativamente pequeno, recomenda-se cautela ao aplicar essas aproximações.
whuber
a
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μ/σ>1.5μ/σ>2.5 or so.
whuber
In any case it is certainly worth being clear that we're indirectly relying on the convergence of ln(1+x) (since ln(μ+yμ)=ln[μ{1+(yμ)/μ}]=ln(μ)+ln[1+(yμ)/μ]). Thanks also for the suggested explicit values; if anything perhaps I am slightly overcautious when I use it. Two valuable comments.
Glen_b -Reinstate Monica