Prova de relação entre taxa de risco, densidade de probabilidade e função de sobrevivência
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Estou lendo um pouco sobre análises de sobrevivência e a maioria dos livros afirma que
h(t)=limΔt→0P(t<T≤t+Δt|T≥t)Δt=f(t)1−F(t)(1)
onde h(t) é a taxa de risco,
f(t)=limΔt→0P(t<T≤t+Δt)Δt(2) a função de densidade,
F(t)=Pr(T<t)(3) e
S(t)=Pr(T>t)=1−F(t)(4)
Eles também afirmam que
S(t)=e−∫t0h(s)ds(5)
A maioria dos livros didáticos (pelo menos os que tenho) não fornece provas para (1) ou (5). Eu acho que consegui passar (1) da seguinte maneira
limΔt→0P(T≥t|t<T≤t+Δt)P(t<T≤t+Δt)h(t)=limΔt→0P(t<T≤t+Δt|T≥t)Δt=limΔt→0P(T≥t|t<T≤t+Δt)P(t<T≤t+Δt)P(T≥t)Δt que, devido a (2) e (4) torna-se
limΔt→0P(T≥t|t<T≤t+Δt)f(t)S(t)Δt
mas P(T≥t|t<T≤t+Δt)=1 portanto h(t)=f(t)1−F(t)
Você notou que é a derivada de ? - log S ( t )h(t)−logS(t)
Stéphane Laurent
Sim, eu não entendo que seja ...
nostock
Na prova de (1), você deve primeiro argumentar que a 2ª probabilidade no numerador é 1 e depois aplicar (2) e (4).
Ocram
Por que a ordem é importante?
Nostock 03/03
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Se você mantiver seu pedido, deve argumentar que o limite como (em vez do proba) é igual a . De qualquer forma, este é um detalhe ...1Δt→01
Ocram
Respostas:
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A derivada de é
Portanto, conforme mencionado por @ StéphaneLaurent, temos
onde a última igualdade segue de (1).d S ( t )S-dlog(S(t))
dS(t)dt=d(1−F(t))dt=−dF(t)dt=−f(t)
−dlog(S(t))dt=−dS(t)dtS(t)=f(t)S(t)=h(t)
Tomando a integral dos dois lados da relação anterior, obtemos
modo que
S ( t ) = exp { - ∫ t 0 h ( s )
−log(S(t))=∫t0h(s)ds
S(t)=exp{−∫t0h(s)ds}
Esta é sua equação (5). A parte integrante do exponencial é o risco integrado, também chamado de risco cumulativo [de modo que ].S ( t ) = exp ( - H ( t ) )H(t)S(t)=exp(−H(t))
Esta é a regra do chaine. Temos para quedlog(x)dx=1x
dlog(f(x))dx=df(x)dxx
ocram
Deverá o x no lado direito da última equação ser f (x) ?, iePara diferenciar y = log S (t). Seja u = S (t), portanto, . Além disso, temos e assim . Pela regra da cadeia, entãoy = L o g S ( t ) = l o g ( L ) d y
dudt=dS(t)/dt=S′(t)
y=logS(t)=log(u) dy
dydu=1u=1S(t)
dydt=dydududt=1S(t)S′(t)=S′(t)S(t)
user1420372 5/17/17
@ user1420372: Sim, você está certo. Deveria ter sido f (x).
Ocram
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=f(t)
h(t)=f(t)S(t)
=f(t)
=f(t)1−F(t)
=f(t)1−∫t0f(s)ds
Integre os dois lados:
Diferencie os dois lados:
∫t0h(s)ds=∫t0f(s)1−∫t0f(s)dsds
=−ln[1−∫t0f(s)ds]t0+c
1−∫t0f(s)ds=exp[−∫t0h(s)ds]
−f(t)=−h(t)exp[−∫t0h(s)ds]
f(t)=h(t)exp[−∫t0h(s)ds]
Como
h(t)=f(t)S(t)
S(t)=f(t)h(t)
Substitua por ,
Portanto,
f(t)h(t)exp[−∫t0h(s)ds] S(
Respostas:
A derivada de é Portanto, conforme mencionado por @ StéphaneLaurent, temos onde a última igualdade segue de (1).d S ( t )S -dlog(S(t))
Tomando a integral dos dois lados da relação anterior, obtemos modo que S ( t ) = exp { - ∫ t 0 h ( s )
Esta é sua equação (5). A parte integrante do exponencial é o risco integrado, também chamado de risco cumulativo [de modo que ].S ( t ) = exp ( - H ( t ) )H(t) S(t)=exp(−H(t))
fonte
=f(t)
Integre os dois lados: Diferencie os dois lados:
Como
Substitua por , Portanto,f(t) h(t)exp[−∫t0h(s)ds] S(
fonte
Provamos a seguinte equação: prova:
Primeiro, provamos a prova de :
fonte