Prova de relação entre taxa de risco, densidade de probabilidade e função de sobrevivência

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Estou lendo um pouco sobre análises de sobrevivência e a maioria dos livros afirma que

h(t)=limΔt0P(t<Tt+Δt|Tt)Δt=f(t)1F(t)(1)

onde h(t) é a taxa de risco,

f(t)=limΔt0P(t<Tt+Δt)Δt(2) a função de densidade,

F(t)=Pr(T<t)(3) e

S(t)=Pr(T>t)=1F(t)(4)

Eles também afirmam que

S(t)=e0th(s)ds(5)

A maioria dos livros didáticos (pelo menos os que tenho) não fornece provas para (1) ou (5). Eu acho que consegui passar (1) da seguinte maneira

limΔt0P(Tt|t<Tt+Δt)P(t<Tt+Δt)h(t)=limΔt0P(t<Tt+Δt|Tt)Δt= limΔt0P(Tt|t<Tt+Δt)P(t<Tt+Δt)P(Tt)Δt que, devido a (2) e (4) torna-se limΔt0P(Tt|t<Tt+Δt)f(t)S(t)Δt mas P(Tt|t<Tt+Δt)=1 portanto h(t)=f(t)1F(t)

Como se prova (5)?

sem estoque
fonte
5
Você notou que é a derivada de ? - log S ( t )h(t)logS(t)
Stéphane Laurent
Sim, eu não entendo que seja ...
nostock
Na prova de (1), você deve primeiro argumentar que a 2ª probabilidade no numerador é 1 e depois aplicar (2) e (4).
Ocram
Por que a ordem é importante?
Nostock 03/03
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Se você mantiver seu pedido, deve argumentar que o limite como (em vez do proba) é igual a . De qualquer forma, este é um detalhe ...1Δt01
Ocram

Respostas:

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A derivada de é Portanto, conforme mencionado por @ StéphaneLaurent, temos onde a última igualdade segue de (1).d S ( t )S-dlog(S(t))

dS(t)dt=d(1F(t))dt=dF(t)dt=f(t)
dlog(S(t))dt=dS(t)dtS(t)=f(t)S(t)=h(t)

Tomando a integral dos dois lados da relação anterior, obtemos modo que S ( t ) = exp { - t 0 h ( s )

log(S(t))=0th(s)ds
S(t)=exp{0th(s)ds}

Esta é sua equação (5). A parte integrante do exponencial é o risco integrado, também chamado de risco cumulativo [de modo que ].S ( t ) = exp ( - H ( t ) )H(t)S(t)=exp(H(t))

ocram
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Você poderia ser um pouco mais explícito em
dlog(S(t))dt=dS(t)dtS(t)
nostock
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Esta é a regra do chaine. Temos para quedlog(x)dx=1x
dlog(f(x))dx=df(x)dxx
ocram
Deverá o x no lado direito da última equação ser f (x) ?, iePara diferenciar y = log S (t). Seja u = S (t), portanto, . Além disso, temos e assim . Pela regra da cadeia, entãoy = L o g S ( t ) = l o g ( L ) d y
dudt=dS(t)/dt=S(t)
y=logS(t)=log(u) dy
dydu=1u=1S(t)
dydt=dydududt=1S(t)S(t)=S(t)S(t)
user1420372 5/17/17
@ user1420372: Sim, você está certo. Deveria ter sido f (x).
Ocram
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=f(t)

h(t)=f(t)S(t) 
=f(t)
=f(t)1F(t)
=f(t)10tf(s)ds

Integre os dois lados: Diferencie os dois lados:

0th(s)ds=0tf(s)10tf(s)dsds
=ln[10tf(s)ds]0t+c
10tf(s)ds=exp[0th(s)ds]
f(t)=h(t)exp[0th(s)ds]
f(t)=h(t)exp[0th(s)ds]

Como

h(t)=f(t)S(t)

S(t)=f(t)h(t)

Substitua por , Portanto, f(t)h(t)exp[0th(s)ds] S(

S(t)=h(t)exp[0th(s)ds]h(t)
S(t)=exp[0th(s)ds]
Vara
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3

Provamos a seguinte equação: prova:

S(t)=exp{0th(u)du}

Primeiro, provamos a prova de :

f(t)=dS(t)dt

f(t)=dF(t)dt=dP(T<t)dt=d(1S(t))dt=dS(t)dt 
E sabemos que Substitua em obtemos e continue nossa prova principal. Ao integrar os dois lados da equação acima, temos Então obtemos o resultado
h(t)=f(t)S(t)
f(t)h(t)
h(t)=dS(t)dtS(t)
S ( t ) = exp {
0th(u)du=0tdS(t)dtS(t)dt=0tS(t)1dS(t)=[logS(t)logS(0)]=logS(t)
S(t)=exp{0th(u)du} 
CCKevin Wang
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