O lema de Neyman-Pearson pode ser aplicado ao caso em que simples nulo e alternativo não pertencem à mesma família de distribuições?

1. O lema de Neyman-Pearson pode se aplicar ao caso em que uma simples alternativa nula e uma simples não pertencem à mesma família de distribuições? Pela prova, não vejo por que não pode.

   Por exemplo, quando o nulo simples é uma distribuição normal e a alternativa simples é uma distribuição exponencial.

2. O teste da razão de verossimilhança é uma boa maneira de testar um nulo composto em relação a uma alternativa composta quando ambos pertencem a famílias diferentes de distribuições?

Obrigado e cumprimentos!

Sim, Neyman Pearson Lemma pode aplicar-se ao caso em que uma simples alternativa nula e simples não pertence à mesma família de distribuições.

Vamos querer construir um teste Mais Poderoso (MP) de contra H 1 : X ∼ Exp ( 1 ) de seu tamanho.$H_0:X\sim N(0,1)$$H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$

Para um particular , nossa função crítica do lema de Neyman Pearson é$k$

$$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$$

é um teste de MP de contra H $H_0$$H_1$ do seu tamanho.

Aqui

$$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$$

Observe que Agora, se você desenhar a figura der(x)[não sei como construir umafiguraem resposta], no gráfico ficará claro quer(x)>

$$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$$ $r(x)$ .$r(x)>k \implies x>c$

Portanto, para um particu r ϕ ( x ) = { 1 , x > c 0 , caso contrário , é um teste de MP de H o contra H $c$

$$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$$ $H_o$$H_1$ de seu tamanho.

Você pode testar

• 1. contraH1:X∼Cauchy(0,1$H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$$H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
  2. contra H 1 : X ∼ Cauchy ( 0 , 1 $H_0:X\sim N(0,1)$$H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
  3. contra H 1 : X ~ Duplo Exponencial ( 0 , 1 $H_0:X\sim N(0,1)$$H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

Por Neyman Pearson lema.

$\mathbb{\theta}$ é um multiparâmetro e desejamos testar hipóteses sobre um dos parâmetros .

Isso é tudo de mim.

Q2 A razão de verossimilhança é uma estatística de teste suficientemente sensata, mas (a) o lema de Neyman-Pearson não se aplica a hipóteses compostas; portanto, o LRT não será necessariamente mais poderoso; & (b) O Teorema de Wilks se aplica apenas a hipóteses aninhadas, portanto, a menos que uma família seja um caso especial da outra (por exemplo, exponencial / Weibull, Poisson / binômio negativo), você não conhece a distribuição da razão de verossimilhança sob o valor nulo, mesmo assintoticamente.

1. You're exactly right. The general picture is: we want a test statistic that gives us maximal power at a given significance level $\alpha$. In other words, a way to compute a value $\phi$ so that the points part of parameter space for which $\phi$ exceeds its $\alpha^\mathrm{th}$ quantile under $H_0$ have the least possible weight under $H_1$. The Neyman-Pearson lemma demonstrates that that statistic is the likelihood ratio.

2. Neyman & Pearson's original paper also discusses composite hypotheses. In some cases the answer is straightforward -- if there is a choice of particular distributions in each family whose likelihood ratio is conservative when applied the the whole family. This is what often happens, for instance, for nested hypotheses. It's easy for this not to happen, though; this paper by Cox discusses what to do further. I think a more modern approach here would be to approach it in a Bayesian way, by putting priors over the two families.