Hipótese nula de equivalência

Suponha que são uma amostra aleatória simples de uma distribuição Normal . ( μ , σ 2$X_1, X_2, \, ... \, , X_n$$(\mu,\sigma^2)$

Estou interessado em fazer o seguinte teste de hipótese: para uma constante constante .c >

$$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$$ $c > 0$

Eu estava pensando em realizar dois testes unilaterais (TOST) de maneira análoga à situação usual de teste de bioequivalência, em que nulo e é , mas não sei se isso faz sentido ou está correto.| u | ≥ $t$$|\mu| \ge c$

Minha idéia é realizar os testes unilaterais e e rejeite a hipótese nula global se um dos valores- for menor que um nível de significância .H 02 : μ ≥ -

$$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$$ p $$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$$ $p$$\alpha$

Desde já, obrigado!

EDITAR:

Estou pensando um pouco sobre isso e acho que a abordagem que propus não tem nível de significância $\alpha$ .

Suponha que o valor verdadeiro de $\mu$ seja $\mu_0$ e $\sigma^2$ seja conhecido.

A probabilidade de rejeitar o nulo no primeiro teste é onde se o cdf padrão da distribuição Normal e for um valor tal que .Φz1-αΦ(z1-α)=1-

$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$$ $\Phi$$z_{1-\alpha}$$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

Se , . Então, se , . Como alternativa, se , .P μ 0 ( R e j . H 01 ) = ct μ 0 > c P μ 0 ( R e j . H 01 ) > ct μ 0 < c P μ 0 ( R e j . H 01 ) < $\mu_0 = c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$$\mu_0 > c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$$\mu_0 < c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

A probabilidade de rejeitar o nulo no segundo teste é

$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$$

Novamente, se , temos . Da mesma forma, se , . Finalmente, se , .P μ 0 ( R e j . H 02 ) = ct μ 0 > - c P μ 0 ( R e j . H 02 ) < ct μ 0 < - c P μ 0 ( R e j . H 02 ) > $\mu_0 = -c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$$\mu_0 > -c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$$\mu_0 < -c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

Como as regiões de rejeição dos dois testes são disjuntas, a probabilidade de rejeitar é: P μ 0 ( R e j . H 0 ) = 1 - Φ ( z 1 - α + c - μ $H_0$

$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$$

Portanto, se , é um limite superior da probabilidade de rejeitar a hipótese nula (global). Portanto, a abordagem que propus era muito liberal.2 $\mu \in [-c,c]$$2\alpha$

Se não estiver errado, podemos alcançar um nível de significância de , fazendo os mesmos dois testes e rejeitando o nulo se o valor- de um deles for menor que . Um argumento semelhante é válido quando a variação é desconhecida e precisamos aplicar o teste .p α / 2 $\alpha$$p$$\alpha/2$$t$

Pergunta muito interessante !!

Você está usando a consequência lógica, ou seja, a condição de vinculação. Essa condição de vinculação forma a própria base da lógica clássica, garante a inferência ou dedução de um resultado de uma premissa.

O raciocínio por trás da sua proposta é o seguinte:

Se implica , os dados observados devem extrair mais evidências contra que .$H_0$$H_0'$$H_0$$H_0'$

Em termos de suas hipóteses auxiliares e , temos , ou seja, implica e também implica . Portanto, de acordo com a condição de vinculação, devemos observar mais evidências contra que ou . Então, você concluiu que, se um dos valores p calculados em ou for suficientemente pequeno, o valor p calculado em será ainda menor. H 02 H 0 ≡ H 01 ∧ H $H_{01}$$H_{02}$$H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$$H_{0}$$H_{01}$$H_{0}$$H_{02}$$H_{0}$$H_{01}$$H_{02}$$H_{01}$$H_{02}$$H_0$

No entanto, esse raciocínio lógico não é válido para valores-p, ou seja, valores-p não respeitam a consequência lógica. Cada valor-p é construído sob uma hipótese nula específica; portanto, valores-p para diferentes hipóteses nulas são computados sob diferentes métricas. Por esse motivo, os valores-p não podem respeitar o raciocínio lógico sobre o espaço do parâmetro (ou o espaço das hipóteses nulas).

Exemplos em que os valores-p violam a condição de vinculação são apresentados em Schervish (1996) e Patriota (2013). O último artigo mostra exemplos de uma distribuição normal bivariada e de um modelo de regressão (consulte os Exemplos 1.1 e 1.2 nas páginas 5 e 6, respectivamente). Eran Raviv fornece um algoritmo no código R para o caso bivariado. O aprendizado desses exemplos é: você deve calcular o valor-p diretamente para a hipótese nula de interesse. Schervish (1996) fornece uma fórmula de valor-p para o seu exemplo quando e , consulte Fórmula (2) na página 204. Se você deseja calcular um valor-p, deve adequar essa fórmula a seu caso.$n=1$$\sigma^2 = 1$

Patriota (2013) propõe uma nova medida de evidência para testar hipóteses nulas gerais (hipóteses nulas simples ou compostas) que respeitam a consequência lógica. Essa medida é chamada de valor s no artigo. O procedimento é relativamente simples para o seu exemplo:

1. Encontre um intervalo de confiança (1- ) para (assintótico): , em que é a média da amostra, é a variação da amostra , é o quantil de uma distribuição normal padrão e é o tamanho da amostra.$\alpha$$\mu$$I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$$\bar{x}$$s^2$$z_{{\alpha}/{2}}$${\alpha}/{2}$$n$

2. Encontre o valor para o qual a amplitude de é mínima e tem pelo menos um elemento em comum com (isto é, a borda de ). Este é o valor .$\alpha^*$$I(\mu, \alpha^*)$$\{-c, c\}$$[-c,c]$$\alpha^*$$s$

3. Por um lado, se , a amostra observada corrobora com a hipótese nula ; se o valor for pequeno o suficiente, você poderá aceitar o nulo. Por outro lado, se , a amostra observada está fornecendo informações contra a hipótese nula ; se o valor for pequeno o suficiente, você poderá rejeitar o nulo. Caso contrário, você não deve rejeitar ou aceitar o nulo.$\bar{x} \in [-c,c]$$H_0: |\mu|\leq c$$s$$\bar{x} \not \in [-c,c]$$H_0$$s$

Observe que, se e o respectivo valor são extremamente pequenos, isso significa que a hipótese alternativa está extremamente distante do valor máximo plausível, . Se e o respectivo valor são extremamente pequenos, isso significa que a hipótese nula está extremamente distante do valor máximo plausível, . Tente desenhar uma figura representando o intervalo de confiança e a hipótese nula de interesse para entender melhor as conclusões. Para mais informações, leia o artigo original Patriota (2013).$\bar{x}\in [-c,c]$$s$$\bar{x}$$\bar{x}\not \in [-c,c]$$s$$\bar{x}$

Como encontrar limites objetivos para aceitar ou rejeitar o nulo usando esse valor ainda é um problema em aberto. Essa abordagem é boa porque agora podemos aceitar uma hipótese nula. Isso faz sentido sempre que a amostra observada corrobora com o nulo e está longe da alternativa. No seu exemplo que pode ser visto para , , e . É bastante simples ver que a densidade de dados está extremamente concentrada em (dez vezes o erro padrão). Para ter uma interseção não vazia com , são necessários 99900 erros padrão. Portanto, seria justo aceitarc = 1000 ˉ x = 1 s 2 = 1 n = 10000 [ 0,9 , 1,1 ] [ $s$$c = 1000$$\bar{x} = 1$$s^2 = 1$$n=10000$$[0.9, \ 1.1]$H 0 : | u | ≤ $[-1000, \ 1000]$$H_0: |\mu| \leq c$ neste caso.

Referências:

Patriota, AG (2013). Uma medida clássica de evidência para hipóteses nulas gerais, Fuzzy Sets and Systems, 233, 74–88

Schervish, MJ (1996). Valores P: O que são e o que não são, The American Statistician, 50, 203-206.