Hipótese nula de equivalência

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Suponha que são uma amostra aleatória simples de uma distribuição Normal . ( μ , σ 2 )X1,X2,...,Xn(μ,σ2)

Estou interessado em fazer o seguinte teste de hipótese: para uma constante constante .c > 0

H0:|μ|cH1:|μ|>c,
c>0

Eu estava pensando em realizar dois testes unilaterais (TOST) de maneira análoga à situação usual de teste de bioequivalência, em que nulo e é , mas não sei se isso faz sentido ou está correto.| u | ct|μ|c

Minha idéia é realizar os testes unilaterais e e rejeite a hipótese nula global se um dos valores- for menor que um nível de significância .H 02 : μ - c

H01:μcH11:μ>c
p α
H02:μcH12:μ<c,
pα

Desde já, obrigado!

EDITAR:

Estou pensando um pouco sobre isso e acho que a abordagem que propus não tem nível de significância α .

Suponha que o valor verdadeiro de μ seja μ0 e σ2 seja conhecido.

A probabilidade de rejeitar o nulo no primeiro teste é onde se o cdf padrão da distribuição Normal e for um valor tal que .Φz1-αΦ(z1-α)=1-α

Pμ0(Rej.H01)=1Φ(z1α+cμ0σ/n),
Φz1αΦ(z1α)=1α

Se , . Então, se , . Como alternativa, se , .P μ 0 ( R e j . H 01 ) = ct μ 0 > c P μ 0 ( R e j . H 01 ) > ct μ 0 < c P μ 0 ( R e j . H 01 ) < αμ0=cPμ0(Rej.H01)=αμ0>cPμ0(Rej.H01)>αμ0<cPμ0(Rej.H01)<α

A probabilidade de rejeitar o nulo no segundo teste é

Pμ0(Rej.H02)=Φ(z1αμ0+cσ/n).

Novamente, se , temos . Da mesma forma, se , . Finalmente, se , .P μ 0 ( R e j . H 02 ) = ct μ 0 > - c P μ 0 ( R e j . H 02 ) < ct μ 0 < - c P μ 0 ( R e j . H 02 ) > αμ0=cPμ0(Rej.H02)=αμ0>cPμ0(Rej.H02)<αμ0<cPμ0(Rej.H02)>α

Como as regiões de rejeição dos dois testes são disjuntas, a probabilidade de rejeitar é: P μ 0 ( R e j . H 0 ) = 1 - Φ ( z 1 - α + c - μ 0H0

Pμ0(Rej.H0)=1Φ(z1α+cμ0σ/n)+Φ(z1αμ0+cσ/n)

Portanto, se , é um limite superior da probabilidade de rejeitar a hipótese nula (global). Portanto, a abordagem que propus era muito liberal.2 αμ[c,c]2α

Se não estiver errado, podemos alcançar um nível de significância de , fazendo os mesmos dois testes e rejeitando o nulo se o valor- de um deles for menor que . Um argumento semelhante é válido quando a variação é desconhecida e precisamos aplicar o teste .p α / 2 tαpα/2t

Vic101
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A edição está no caminho certo :-).
whuber

Respostas:

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Pergunta muito interessante !!

Você está usando a consequência lógica, ou seja, a condição de vinculação. Essa condição de vinculação forma a própria base da lógica clássica, garante a inferência ou dedução de um resultado de uma premissa.

O raciocínio por trás da sua proposta é o seguinte:

Se implica , os dados observados devem extrair mais evidências contra que .H0H0H0H0

Em termos de suas hipóteses auxiliares e , temos , ou seja, implica e também implica . Portanto, de acordo com a condição de vinculação, devemos observar mais evidências contra que ou . Então, você concluiu que, se um dos valores p calculados em ou for suficientemente pequeno, o valor p calculado em será ainda menor. H 02 H 0H 01H 02H01H02H0H01H02H0H01H0H02H0H01H02H01H02H0

No entanto, esse raciocínio lógico não é válido para valores-p, ou seja, valores-p não respeitam a consequência lógica. Cada valor-p é construído sob uma hipótese nula específica; portanto, valores-p para diferentes hipóteses nulas são computados sob diferentes métricas. Por esse motivo, os valores-p não podem respeitar o raciocínio lógico sobre o espaço do parâmetro (ou o espaço das hipóteses nulas).

Exemplos em que os valores-p violam a condição de vinculação são apresentados em Schervish (1996) e Patriota (2013). O último artigo mostra exemplos de uma distribuição normal bivariada e de um modelo de regressão (consulte os Exemplos 1.1 e 1.2 nas páginas 5 e 6, respectivamente). Eran Raviv fornece um algoritmo no código R para o caso bivariado. O aprendizado desses exemplos é: você deve calcular o valor-p diretamente para a hipótese nula de interesse. Schervish (1996) fornece uma fórmula de valor-p para o seu exemplo quando e , consulte Fórmula (2) na página 204. Se você deseja calcular um valor-p, deve adequar essa fórmula a seu caso.n=1σ2=1

Patriota (2013) propõe uma nova medida de evidência para testar hipóteses nulas gerais (hipóteses nulas simples ou compostas) que respeitam a consequência lógica. Essa medida é chamada de valor s no artigo. O procedimento é relativamente simples para o seu exemplo:

  1. Encontre um intervalo de confiança (1- ) para (assintótico): , em que é a média da amostra, é a variação da amostra , é o quantil de uma distribuição normal padrão e é o tamanho da amostra.αμI(μ,α)=[x¯zα/2s2n ; x¯+zα/2s2n]x¯s2zα/2α/2n

  2. Encontre o valor para o qual a amplitude de é mínima e tem pelo menos um elemento em comum com (isto é, a borda de ). Este é o valor .αI(μ,α){c,c}[c,c]αs

  3. Por um lado, se , a amostra observada corrobora com a hipótese nula ; se o valor for pequeno o suficiente, você poderá aceitar o nulo. Por outro lado, se , a amostra observada está fornecendo informações contra a hipótese nula ; se o valor for pequeno o suficiente, você poderá rejeitar o nulo. Caso contrário, você não deve rejeitar ou aceitar o nulo.x¯[c,c]H0:|μ|csx¯[c,c]H0s

Observe que, se e o respectivo valor são extremamente pequenos, isso significa que a hipótese alternativa está extremamente distante do valor máximo plausível, . Se e o respectivo valor são extremamente pequenos, isso significa que a hipótese nula está extremamente distante do valor máximo plausível, . Tente desenhar uma figura representando o intervalo de confiança e a hipótese nula de interesse para entender melhor as conclusões. Para mais informações, leia o artigo original Patriota (2013).x¯[c,c]sx¯x¯[c,c]sx¯

Como encontrar limites objetivos para aceitar ou rejeitar o nulo usando esse valor ainda é um problema em aberto. Essa abordagem é boa porque agora podemos aceitar uma hipótese nula. Isso faz sentido sempre que a amostra observada corrobora com o nulo e está longe da alternativa. No seu exemplo que pode ser visto para , , e . É bastante simples ver que a densidade de dados está extremamente concentrada em (dez vezes o erro padrão). Para ter uma interseção não vazia com , são necessários 99900 erros padrão. Portanto, seria justo aceitarc = 1000 ˉ x = 1 s 2 = 1 n = 10000 [ 0,9 , 1,1 ] [ -sc=1000x¯=1s2=1n=10000[0.9, 1.1]H 0 : | u | c[1000, 1000]H0:|μ|c neste caso.

Referências:

Patriota, AG (2013). Uma medida clássica de evidência para hipóteses nulas gerais, Fuzzy Sets and Systems, 233, 74–88

Schervish, MJ (1996). Valores P: O que são e o que não são, The American Statistician, 50, 203-206.

Alexandre Patriota
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