Distribuição amostral dos coeficientes de regressão

Eu aprendi anteriormente sobre distribuições de amostras que deram resultados que eram para o estimador, em termos do parâmetro desconhecido. Por exemplo, para as distribuições de amostragem de β 0 e β 1 no modelo de regressão linear Y i = β o + β 1 X i + ε i$\hat\beta_0$$\hat\beta_1$$Y_i = \beta_o + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$

onde $S_{xx} = \sum_{i=1}^n (x_i^2) -n \bar{x}^2$

Mas agora eu vi o seguinte em um livro :

Suponha que ajustemos o modelo por mínimos quadrados da maneira usual. Considere a distribuição posterior bayesiana e escolha anteriores para que isso seja equivalente à distribuição frequente de amostras freqüentes, ou seja ......

$$\left( \begin{matrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{matrix} \right) \sim \mathcal N_2\left[\left(\begin{matrix} \hat{\beta}_1 \\ \hat{\beta}_2 \end{matrix} \right),~\hat{\sigma}^2 \left(\begin{matrix} n & \sum_{i=1}^{n}x_i \\ \sum_{i=1}^{n}x_i & \sum_{i=1}^{n}x_i^2 \end{matrix} \right) ^{-1}\right]$$

Isso está me confundindo porque:

1. Por que as estimativas aparecem no lado esquerdo (lhs) das 2 primeiras expressões e no lado direito (rhs) da última expressão?
2. Por que os chapéus beta na última expressão têm 1 e 2 subscritos em vez de 0 e 1?
3. São apenas representações diferentes da mesma coisa? Se eles são, alguém poderia me mostrar como eles são equivalentes? Caso contrário, alguém poderia explicar a diferença?
4. $\leftrightarrow$

Esta parte está relacionada principalmente à sua primeira, terceira e quarta pergunta:

Há uma diferença fundamental entre as estatísticas bayesianas e as estatísticas freqüentes.

$\theta$

$P(\theta|\underline{x})$

Isso resulta em coisas que geralmente parecem semelhantes, mas onde as variáveis ​​em uma parecem "de maneira errada", vistas através das lentes da outra maneira de pensar sobre isso.

Então, fundamentalmente, são coisas um pouco diferentes , e o fato de que as coisas que estão no LHS de um estão no RHS do outro não é um acidente.

Se você trabalha com os dois, logo fica razoavelmente claro.

A segunda pergunta parece-me relacionar simplesmente com um erro de digitação.

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a afirmação "equivalente à distribuição freqüente de amostragem freqüente, isto é": entendi que isso significava que os autores estavam declarando a distribuição de amostragem freqüentista. Eu li isso errado?

Há duas coisas acontecendo lá - elas expressaram algo um pouco vagamente (as pessoas fazem esse tipo de expressão excessivamente frouxa o tempo todo), e acho que você também está interpretando de maneira diferente da intenção.

O que exatamente significa a expressão que eles dão?

Esperamos que a discussão abaixo ajude a esclarecer o sentido pretendido.

Se você puder fornecer uma referência (pref. Online, pois não tenho um bom acesso à biblioteca) onde essa expressão é derivada, ficaria muito grato.

Segue-se a partir daqui:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bayesian_linear_regression

$\beta$$\sigma^2$

A razão é que o posterior é proporcional à probabilidade e os intervalos gerados a partir dos posteriores nos parâmetros correspondem aos intervalos de confiança freqüentes para os parâmetros.

Você pode encontrar as primeiras páginas aqui úteis também.