Variação do retorno anual com base na variação do retorno mensal

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Estou tentando entender toda a variação / erro padrão de uma série temporal de retornos financeiros e acho que estou preso. Eu tenho uma série de dados de retorno de estoque mensal (vamos chamá-lo de ), que tem o valor esperado 1,00795 e a variação 0,000228 (std. Dev é 0,01512). Estou tentando calcular o pior caso do retorno anual (digamos que o valor esperado menos o dobro do erro padrão). Qual a melhor maneira de fazê-lo? Um . Calcule-o por um único mês ( ) e multiplique-o 12 vezes (= 0.7630 ). B . Supondo que os meses sejam independentes, defina 12 vezes, encontre seu valor esperadoμ X - 2 σ X = 0,977 Y = X X . . . X E [ Y ] = ( E [ X ] ) 12X

μX2σX=0.977

Y=XX...XE[Y]=(E[X])12) e variância . o dev padrão neste caso é 0,0572, e o valor esperado menos duas vezes o std. dev é 0,9853 . C . Multiplique o std mensal. dev com para obter o anual. usá-lo para encontrar o pior caso anual ( ), que sai como 0,9949 . Qual é o correto? Qual é a maneira correta de calcular o valor anual esperado menos duas vezes o valor padrão, se você conhece essas propriedades apenas para os dados mensais ? (Em geral - se 12 vezes e ,var[Y]=(var[X]+(E[X])2)12((E[X]2)12

12μ2σ

Y=XX...XμXσXsão conhecidos, o que é ?)μY2σY

lyosef
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Respostas:

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Se você definir o retorno proporcional como , onde P é o preço, não é incomum com retornos diários simplesmente multiplicar o retorno proporcional por 250 (número de dias úteis) em um ano) e o desvio padrão de ΔP/P=(Pt+1Pt)/PtP250 para anualizá-los. Isto corresponde ao seu casoC. O ponto aqui éredimensionarpara que um número anual significativo possa serrelatado apartir de números diários (mas você não usaria isso para comparar rigorosamente as métricas derivadas diariamente com as derivadas mensais). Em geral, você faria todos os seus cálculos e tomaria todas as suas decisões na frequência em que coletou seus dados (mensalmente, no seu caso).250

A abordagem teoricamente correta é usar retornos de log = (usando logs naturais). A fórmula para a expectativa de uma soma de variáveis ​​aleatórias pode ser usada corretamente, porque a soma dos retornos do log é o log do produto dos retornos.registro(Pt+1/Pt)

Além disso, se você usar retornos de log, o Teorema do Limite Central fornece alguma justificativa teórica de que os retornos do log são normalmente distribuídos (essencialmente, o Teorema do Limite Central diz que a soma das variáveis ​​independentes tende a uma distribuição normal à medida que o número de variáveis ​​aleatórias na soma aumenta ) Isso permite que você atribua uma probabilidade de obter um retorno menor que (a probabilidade é dada pela função de distribuição cumulativa para a distribuição normal: Φ ( - 2 ) 0,023 )μ-2σΦ(-2)0,023). Se os retornos do log são normalmente distribuídos, dizemos que os retornos são distribuídos normalmente - esse é um dos pressupostos usados ​​derivando a famosa fórmula de precificação de opções do Black Scholes.

Uma coisa a observar é que, quando um retorno proporcional é pequeno, o retorno proporcional é aproximadamente igual aos retornos do log. A razão para isso é que a série de Taylor para o logaritmo natural é dada por registro(1+x)=x-12x2+13x3+...xx2x3nn

Você deve encontrar mais informações na web. Por exemplo, tentei procurar por "retornos de log" para atualizar minha memória, e o primeiro hit pareceu muito bom.

nσnσμXσXnnn

Um ponto sutil, mas importante, como observado no comentário do @ whuber, é que a regra (ii) requer correlação, que no caso de séries temporais significa que não há correlação serial (geralmente verdadeira, mas vale a pena checar). O requisito de independência é válido nos casos de retorno proporcional e log.

(Eu não vi o caso B , o produto de variáveis ​​aleatórias, antes. Não acho que essa abordagem seja comumente usada. Não analisei detalhadamente seus cálculos, mas seus números parecem corretos e a fórmula pode ser encontrado na wikipedia . na minha opinião esta abordagem parece muito mais complicado do que qualquer um à aproximação envolvido no uso retornos proporcionais ou a abordagem teoricamente som de usar log retornos. E, em comparação ao uso de log retornos, o que você pode dizer sobre a distribuição de Y? Como você pode atribuir probabilidades ao seu pior retorno, por exemplo?)

TooTone
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+1 Usar logs é a chave. Pode-se notar a suposição implícita na pergunta e nesta resposta de que os retornos mensais não apresentam correlação serial apreciável. (Na minha experiência, isso é uma suposição razoável para a maioria séries financeiras, mas é sempre vale a pena conferir.)
whuber
Obrigado pela sugestão de retorno de log! Eu vou consultar. No entanto - em relação ao restante de sua resposta - no meu post eu realmente calculei P_t + 1 / P_t (e não [Pt + 1-Pt / Pt]), portanto o valor esperado 1,00795 realmente significa retorno de 0,795%. Por isso multipliquei os valores mensais e não os adicionei . (Portanto, o valor anual em A é, na verdade, o valor mensal do "pior caso" para a potência de 12). Ficaria feliz em saber se agora você pensa de maneira diferente em A ou B , já que minha pergunta se refere a um produto de variáveis ​​aleatórias e não a sua soma. Mais uma vez, muito obrigado.
lyosef 12/07/2013
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@ NightMaster769 Desculpe, eu deveria ter me referido mais diretamente à sua postagem. Percebi que você estava se multiplicando para compor os retornos corretamente, mas não expliquei isso explicitamente. Afinal, é por isso que você estava certo em usar as fórmulas para adicionar variáveis ​​aleatórias. No entanto, A apenas compõe o "retorno mensal incorreto de 2 desvios padrão" em 12 meses. Não fornece "retorno ruim anual de 2 desvios padrão". Em relação a B, sua abordagem parece sólida, mas é complicada em comparação com os retornos de log e sugere a pergunta "Qual é a distribuição de Y?".
TooTone
@whuber Obrigado Adicionei sua opinião sobre a correlação serial.
TooTone