O que é um processo estacionário de segunda ordem?

Fiquei imaginando como seu "processo estacionário de segunda ordem" é definido na Introdução a séries temporais e previsões de Brockwell e Davis :

A classe de modelos de séries temporais lineares, que inclui a classe de modelos de média móvel autoregressiva (ARMA), fornece uma estrutura geral para o estudo de processos estacionários. De fato, todo processo estacionário de segunda ordem é um processo linear ou pode ser transformado em um processo linear subtraindo um componente determinístico. Este resultado é conhecido como decomposição de Wold e é discutido na Seção 2.6.

Na Wikipedia ,

O caso da estacionariedade de segunda ordem surge quando os requisitos de estacionariedade estrita são aplicados apenas a pares de variáveis ​​aleatórias da série temporal.

Mas acho que o livro tem uma definição diferente da Wikipedia, porque o livro usa estacionariedade curta para estacionariedade de sentido amplo, enquanto a Wikipedia usa estacionariedade curta para estacionariedade estrita.

Obrigado e cumprimentos!

Pode haver alguma confusão de termos aqui, dependendo se o adjetivo de segunda ordem é considerado um processo estacionário ou aleatório (ou ambos!). Para algumas pessoas,

• Um de segunda ordem processo aleatório é aquele para o qual E [ X 2 t ] é finito (na verdade delimitada) para todos os t ∈ T . Para nós, engenheiros elétricos que aplicam (ou aplicam incorretamente!) Modelos de processos aleatórios no estudo de sinais elétricos, E [ X 2 t ] é uma medida da potência média fornecida no momento $\{X_t \colon t \in \mathbb T\}$$E[X_t^2]$$t \in \mathbb T$$E[X_t^2]$$t$por um sinal estocástico, e assim todos os sinais fisicamente observáveis ​​são modelados como processos de segunda ordem. Observe que a estacionariedade não foi mencionada e esses processos de segunda ordem podem ou não ser estacionários.

• Um processo aleatório estacionário para a ordem , que podemos (mas talvez não deva) chamar de processo aleatório estacionário de segunda ordem, desde que concordemos que a segunda ordem modifica o processo estacionário e não aleatório , é aquele para o qual T é um conjunto de números reais que são fechados sob adição e a distribuição conjunta das variáveis ​​aleatórias X t e X t + τ (onde t , τ ∈ T ) depende de τ mas não de t . Como mostra o link fornecido pela AO, um processo aleatório estacionário para solicitar$2$$\mathbb T$$X_t$$X_{t+\tau}$$t, \tau \in \mathbb T)$$\tau$$t$ não precisa ser estritamente estacionário. Esse processo também não é necessariamenteestacionário de sentido amplo,porque não há garantia de que E [ X 2 t ] seja finito: considere, por exemplo, um processo estritamente estacionário no qual os X t são variáveis ​​aleatórias independentes de Cauchy.$2$$E[X_t^2]$$X_t$

• Um processo aleatório de segunda ordem (que significa poder finito como no primeiro item acima) que é estacionário para pelo menos a ordem é estacionário de sentido amplo.$2$

OK, essa é a perspectiva de um conjunto diferente de usuários da teoria do processo aleatório. Para mais detalhes, consulte, por exemplo, esta resposta minha em dsp.SE.

O estacionário de segunda ordem é estacionário fraco ou covariância. Veja o seguinte trecho de Time Series Analysis, J. Hamilton (1994) p. 108

$(x_k,\dots,x_{k-l})$$k$$l)$