Teste a independência, quando estou faltando um bin de uma contingência 2x2

Estou procurando ajuda para elaborar um teste de hipótese para a seguinte situação.

1. Eu tenho uma fonte radioativa que cospe uma partícula de vez em quando.

2. Além disso, tenho dois detectores de partículas: um detector de partículas vermelho e um detector de partículas verde. Sempre que o detector de partículas vermelhas detecta uma partícula, ele pisca uma luz vermelha; deixe $R$ denotar o evento em que a partícula foi detectada pelo detector vermelho e $r$ evento em complemento em que a partícula não foi detectada pelo detector em vermelho. Sempre que o detector de partículas verde detecta uma partícula, ele pisca uma luz verde; seja $G$ o evento em que o detector verde detecta a partícula $g$ não. Assim, cada partícula emitida cai em uma das quatro categorias:

   • detectado por ambos os detectores ( $RG$ ),
   • detectado pelo detector vermelho, mas não pelo detector verde ( $Rg$ ),
   • detectado pelo detector verde, mas não pelo detector vermelho ( ), ou$rG$
   • não detectado por nenhum detector ( ).$rg$

3. $\Pr[RG] = \Pr[R] \Pr[G]$$\Pr[RG] \ne \Pr[R] \Pr[G]$

4. Eu mantenho uma contagem do número de detecções (ou seja, número de vezes em que os dois detectores detectaram algo), número de detecções (ou seja, número de vezes em que o detector vermelho detectou algo, mas não o verde), e o número de de . Infelizmente, não tenho como medir o número de situações , pois essas partículas não são detectadas por nenhum dos detectores. No final do experimento, tenho três números inteiros não negativos, representando essas contagens.$RG$$Rg$$rG$$rg$

Quero testar a hipótese de que os dois detectores são independentes, ou seja, nesse caso é independente do evento . Alguém pode ajudar a sugerir uma maneira de calcular o valor- dessa hipótese, dados três números de tal experimento?$H$$R$$G$$p$

Eu ficaria perfeitamente satisfeito com um algoritmo / procedimento de computador para calcular o valor- . Eu não preciso de uma fórmula simples; algo que pudesse ser calculado por um computador seria suficiente.$p$

Aqui está outra maneira de ver isso. Poderíamos formar uma tabela de contingência 2x2, como esta:

     G g
  ---------
R 17 22
r | 12?

registrando que vimos 17 eventos de , 22 eventos de e assim por diante. Infelizmente, a célula inferior direita está vazia, pois não sabemos quantas partículas foram emitidas. Se tivéssemos contagens para todas as quatro células, presumivelmente poderíamos usar o teste exato de Fisher, mas não o fazemos. Além disso, não recebemos ou (acho que são parâmetros incômodos) ou o número total de partículas emitidas.$RG$$Rg$$rg$$\Pr[R]$$\Pr[G]$

Alguma sugestão?

Se a contagem ausente estivesse próxima de 22 * ​​12/17, a tabela pareceria independente. Isso é consistente com suas observações. Se a contagem ausente estiver longe desse valor, a tabela exibirá forte falta de dependência. Isso também é consistente com suas observações. Evidentemente, seus dados não podem discriminar os dois casos: a independência ou a falta deles não são identificáveis . Portanto, sua única esperança é adotar suposições adicionais, como um número anterior para a contagem ausente (equivalentemente, para o número total de partículas emitidas).