Qual é a implicação da raiz unitária do MA?

Um processo ARMA (p, q) é fracamente estacionário, se a raiz de sua parte AR não estiver no círculo unitário. Portanto, sua fraca estacionariedade não depende de sua parte da MA. Mas o que as posições das raízes de sua parte MA significam?

Nos testes de raiz unitária do ARIMA, uma raiz unitária do polinômio MA indica que os dados foram superdiferenciados. Isso significa que as séries cronológicas diferenciadas não são fracamente estacionárias? Se sim, isso contradiz o fato anterior de que a fraca estacionariedade do ARMA não depende de sua parte da MA?

Para elaborar alguns dos pontos acima, considere diferenciar um processo seguindo uma tendência determinística .$y_t=a+bt+\epsilon_t$

$\Delta y_t$ não é invertível, pois . Este é um com uma raiz unitária e, portanto, não é invertível. Isso ocorre porque a primeira diferenciação é o esquema prejudicial "errado" para um processo estacionário de tendência.$\Delta y_t=bt-b(t-1)+\Delta\epsilon_t=b+\Delta\epsilon_t$$MA(1)$

Além disso, temos que a variação de longo prazo de um processo pode ser escrita como como Temos para , portanto, um com uma raiz unitária. Esse é um problema, por exemplo, porque a variação de longo prazo é a variação assintótica da média da amostra, $MA(1)$

$$J=\sigma^2(1+\theta)^2,$$ $$\begin{eqnarray*} J &=& \sum_{j=-\infty}^{\infty}\gamma_j \\ &=& \gamma_0 + 2 \sum_{j=1}^{\infty}\gamma_j \\ &=& \gamma_0 + 2 \gamma_1 + 0\\ &=& \sigma^2(1 + \theta^2) + 2 \theta \sigma^2\\ &=& \sigma^2(1 + \theta^2 + 2\theta)\\ &=& \sigma^2(1 + \theta)^2 \end{eqnarray*}$$ $J=0$$\theta=-1$$MA(1)$ $$\sqrt{T}(\bar{Y}_T-\mu)\to_d N\Biggl(0,\sum_{j=-\infty}^{\infty}\gamma_j\Biggr),$$ que é, por exemplo, usado para erros padrão - que não devem ser zero.

Se as raízes do processo de MA indicarem uma violação, isso pode ser devido a uma variedade de causas;

1. Diferenciação excessiva de Y
2. Redundância da estrutura AR e MA
3. Variáveis ​​determinísticas omitidas (pulsos / mudanças de nível / pulsos sazonais / tendências da hora local
4. Transformação de energia incorreta
5. Mudanças nos parâmetros ao longo do tempo
6. Alterações na variação de erros ao longo do tempo
7. Omissão de variáveis ​​causais especificadas pelo usuário

Espero que isso ajude ... por que a identificação do modelo não é "uma caminhada na floresta" e não deve ser realizada usando testes AIC / BIC simplificados, mas formulados de forma agressiva / abrangente.

Eu acho que se você tiver certeza de que o processo é ARMA, a parte MA não afeta a estacionariedade. Mas se você não tiver certeza disso, os testes de raiz unitária da parte MA podem sugerir que é "provável" que o processo especificado não seja realmente ARMA (e, portanto, você deseja integrá-lo).