Modelos binários (Probit e Logit) com um deslocamento logarítmico

Alguém tem uma derivação de como um deslocamento funciona em modelos binários como probit e logit?

No meu problema, a janela de acompanhamento pode variar em comprimento. Suponha que os pacientes recebam uma injeção profilática como tratamento. A tomada acontece em momentos diferentes; portanto, se o resultado for um indicador binário de se houve algum surto, você precisa se ajustar ao fato de que algumas pessoas têm mais tempo para exibir sintomas. Parece que a probabilidade de um surto é proporcional à duração do período de acompanhamento. Não está claro para mim matematicamente como um modelo binário com deslocamento captura essa intuição (ao contrário do Poisson).

O deslocamento é uma opção padrão tanto no Stata (p.1666) quanto no R , e posso vê-lo facilmente para um Poisson , mas o caso binário é um pouco opaco.

Por exemplo, se tivermos

$$\begin{equation} \frac{E[y \vert x]}{Z}=\exp\{x'\beta\}, \end{equation}$$ isso é algebricamente equivalente a um modelo em que $$\begin{equation}E[y \vert x]=\exp\{x'\beta+\log{Z}\}, \end{equation}$$ que é o modelo padrão com o coeficiente no$\log Z$restrito a$1$. Isso é chamado dedeslocamento logarítmico. Estou tendo problemas para descobrir como isso funciona se substituirmos$\exp\{\}$por$\Phi()$ou$\Lambda()$ .

Atualização # 1:

O caso do logit foi explicado abaixo.

Atualização # 2:

Aqui está uma explicação do que parece ser o principal uso de compensações para os modelos não-poisson, como probit. A compensação pode ser usada para realizar testes de razão de verossimilhança nos coeficientes das funções do índice. Primeiro você estima o modelo sem restrições e armazena as estimativas. Digamos que você queira testar a hipótese de que . Em seguida, de criar a variável Z = 2 ⋅ x , ajustar o modelo soltando x e usando Z como um deslocamento não logarítmica. Este é o modelo restrito. Os testes de LR comparam os dois e são uma alternativa ao teste de Wald usual.$\beta_x=2$$z=2 \cdot x$$x$$z$

Você sempre pode incluir um deslocamento em qualquer GLM: é apenas uma variável preditora cujo coeficiente é fixado em 1. A regressão de Poisson é um caso de uso muito comum.

Observe que, em um modelo binomial, o analógico para a exposição do log como um deslocamento é apenas o denominador binomial, portanto, geralmente não há necessidade de especificá-lo explicitamente. Assim como você pode modelar um RV de Poisson como uma contagem com a exposição do log como um deslocamento, ou como uma proporção da exposição como um peso, também pode modelar um RV binomial como contagens de sucessos e fracassos, ou como uma frequência com ensaios como um peso.

$\log Z$$Z$$p/(1-p)$

$$\begin{equation}\begin{split} \log (p/(1-p)) &= \beta' \mathrm{X} + \log Z \\ p/(1-p) &= Z \exp(\beta' \mathrm{X}) \end{split}\end{equation}$$

Mas isso não tem nenhum significado específico, como a exposição de log em uma regressão de Poisson. Dito isto, se sua probabilidade binomial for pequena o suficiente, um modelo logístico se aproximará de um modelo de Poisson com link de log (já que o denominador no LHS se aproxima de 1) e o deslocamento pode ser tratado como um termo de exposição de log.

(O problema descrito na sua pergunta R vinculada era bastante idiossincrático.)

Refazendo isso como um problema de tempo até o evento, um modelo logístico com um deslocamento de ln (tempo) não o comprometeria efetivamente com uma função de sobrevivência paramétrica que pode ou não se encaixar bem nos dados?

p / (1-p) = Z * exp (xbeta)

p = [Z * exp (xbeta)] / [1 + Z * exp (xbeta)]

Sobrevivência prevista no tempo Z = 1- [Z * exp (xbeta)] / [1 + Z * exp (xbeta)]