soma das variáveis ​​aleatórias qui-quadrado não centrais

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Preciso encontrar a distribuição da variável aleatória

Y=Eu=1n(XEu)2
onde XEuN(μEu,σEu2) e todos os XEu s são independentes. Eu sei que é possível a primeira a encontrar o produto de todas as funções de geração de momento para a XEu s, e depois transformar de volta para obter Y distribuição 's. No entanto, gostaria de saber se existe uma forma geral para Y como no caso gaussiano: sabemos que a soma de gaussianos independentes ainda é gaussiana e, portanto, precisamos apenas conhecer a média somada e a variação somada.

E quanto a todos ? Essa condição criará uma solução geral?σEu2=σ2

armadilha
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Olhando para o primeiro parágrafo sob aqui , claramente a condição final produz um não central divide qui-quadrado (escalonado através de (o fator de escala que você toma a frente) e fazer σ i = 1 em Σ k i = 1 ( X i / σ i ) 2 ). A forma mais geral com a qual você começou parece uma combinação linear ou média ponderada em escala, com coeficientes σ 2 i em vez de uma soma simples de quadrados em escala ... e acredito que geralmente não terá a distribuição necessária. σ2σi=1i=1k(Xi/σi)2σi2
O que você precisa saber é o seguinte
Dependendo do que você precisa, em casos específicos, você poderá fazer convolução numérica ou simulação.
Glen_b -Reinstala Monica
Isso é generalizado pela distribuição da 'soma ponderada de qui-quadrado de log para energia'. Meu pacote R sadistsfornece funções aproximadas de 'dpqr' para ; cf github.com/shabbychef/sadistsY
shabbychef

Respostas:

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Como Glen_b observou nos comentários, se as variações forem todas iguais, você terá um qui-quadrado não-central dimensionado.

Caso contrário, existe o conceito de uma distribuição qui-quadrado generalizada , ou seja, para x N ( μ , Σ ) e A fixo. Neste caso, você tem o caso especial de diagonal Σ ( Σ i i = σ 2 i ), e A = I .xTAxxN(μ,Σ)AΣΣii=σi2A=I

Houve algum trabalho em calcular coisas com esta distribuição:

Você também pode escrevê-lo como uma combinação linear de variáveis ​​qui-quadrado não centrais independentes , caso em que:Y=i=1nσi2(Xi2σi2)

Bausch (2013) fornece um algoritmo computacionalmente mais eficiente para a combinação linear de qui-quadrado central; seu trabalho pode ser extensível a qui-quadrados não centrais, e você pode encontrar algumas dicas interessantes na seção de trabalhos relacionados.

Dougal
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Uma comparação dos métodos de aproximação é encontrada em Duchesne et al. 2010. Estatística Computacional e Análise de Dados, 54, 858–862. Os autores mantêm o pacote R CompQuadForm com implementações.
Caracal
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Será o qui-quadrado de n grau de liberdade.

Ahmed
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Eu acredito que você ignorou que o μi