Entendendo as desigualdades de concentração da medida

No espírito desta pergunta Entendendo a prova de um lema usado na desigualdade de Hoeffding , estou tentando entender os passos que levam à desigualdade de Hoeffding.

O que tem mais mistério para mim na prova é a parte em que momentos exponenciais são calculados para a soma das variáveis ​​iid, após o qual a desigualdade de Markov é aplicada.

Meu objetivo é entender: Por que essa técnica gera uma forte desigualdade e é a mais forte que podemos alcançar? Uma explicação típica refere-se ao momento que gera propriedades do expoente. No entanto, acho isso muito vago.

Uma publicação no blog de Tao, http://terrytao.wordpress.com/2010/01/03/254a-notes-1-concentration-of-measure/#hoeff , pode conter algumas respostas.

Com esse objetivo em mente, minha pergunta é sobre três pontos no post de Tao, no qual eu estou preso e que espero que possa dar uma visão, uma vez explicado.

1. Tao deriva a seguinte desigualdade usando o k-ésimo momento Se isso é verdade para qualquer k, ele conclui um limite exponencial. É aqui que estou perdido. P(|Sn|≥λ

   $$\displaystyle {\bf P}( |S_n| \geq \lambda \sqrt{n} ) \leq 2 (\frac{\sqrt{ek/2}}{\lambda})^k. \ \ \ \ \ (7)$$ $$\displaystyle {\bf P}( |S_n| \geq \lambda \sqrt{n} ) \leq C \exp( - c \lambda^2 ) \ \ \ \ \ (8)$$

2. O lema de Hoeffding é apresentado: Lema 1 (lema de Hoeffding) Seja uma variável escalar que assume valores em um intervalo [ a , b ] . Então, para qualquer t > 0 , E e T X ≤ e T E X ( 1 + S ( t 2 V um r ( X ) exp ( O ( t ( b - a ) ) ) ) . ( 9 ${X}$${[a,b]}$${t>0}$

   $$\displaystyle {\bf E} e^{tX} \leq e^{t {\bf E} X} (1 + O( t^2 {\bf Var}(X) \exp( O( t (b-a) ) ) ). \ \ \ \ \ (9)$$ Em particular, A prova do Lema 1 começa com expectativas sobre a expansão do taylor e t X = 1 + t X + O ( t 2 X 2 exp ( O ( t ) ) $$\displaystyle {\bf E} e^{tX} \leq e^{t {\bf E} X} \exp( O( t^2 (b-a)^2 ) ). \ \ \ \ \ (10)$$ $\displaystyle e^{tX} = 1 + tX + O( t^2 X^2 \exp( O(t) ) )$ .Por que a expansão pode ser limitada por esse termo quadrático? e como segue a equação 10?

3. Finalmente, um exercício é dado:
   Exercício 1 Mostre que o fator (10) pode ser substituído por t 2 ( b - a ) 2 / 8 , e que esta é nítida. Isso forneceria uma prova muito mais curta do que a do Compreendendo a Prova de um Lema Usado na Desigualdade de Hoeffding , mas não sei como resolver isso.${O(t^2(b-a)^2)}$${t^2 (b-a)^2/8}$

Definitivamente, são bem-vindas quaisquer outras intuições / explicações sobre a prova da desigualdade ou a razão pela qual não podemos derivar um limite mais rígido.

$\mathbb{E}e^X$$\mathbb{E} X$$X$$\mathbb{E} e^X$$\mathbb{E}X$$\mathbb{E} e^X$$\mathbb{E} e^X$$e^{X}=1+X+\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{6}+\ldots$$X$$\mathbb{E}X$$X$