Quando a função de distribuição binomial está acima / abaixo da função limitante de distribuição de Poisson?

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Deixe- denotam a função de distribuição binomial (DF) com parâmetros e avaliada em : \ begin {equação} B (n, p, r) = \ sum_ {i = 0} ^ r \ binom {n} {i} p ^ i (1-p) ^ {ni}, \ end {equação } e deixe F (\ nu, r) denotar o Poisson DF com o parâmetro a \ in \ mathbb R ^ + avaliado em r \ in \ {0,1,2, \ ldots \} : \ begin {equação} F (a , r) = e ^ {- a} \ sum_ {i = 0} ^ r \ frac {a ^ i} {i!}. \ end {equação}n N p ( 0 , 1 ) r { 0 , 1 , , n } B ( n , p , r ) = r i = 0 ( nB(n,p,r)nNp(0,1)r{0,1,,n}F(ν,r)aR+r{0,1,2,}F(a,r)=e-ar i=0aEu

B(n,p,r)=i=0r(ni)pi(1p)ni,
F(ν,r)aR+r{0,1,2,}
F(a,r)=eai=0raii!.

Considere p0 e deixe n ser definido como a/pd , onde d é uma constante da ordem de 1 . Como npa , a função B(n,p,r) converge para F(a,r) para todos os r , como é bem conhecido.

Com a definição acima para n , estou interessado em determinar os valores de a para os quais

B(n,p,r)>F(a,r)p(0,1),
e similarmente aqueles para os quais
B(n,p,r)<F(a,r)p(0,1).
Pude provar que a primeira desigualdade vale para a suficientemente menor que r ; mais especificamente, para a menor que um certo limite g(r) , com g(r)<r . Da mesma forma, a segunda desigualdade vale para a quantidade suficientemente maior que r , ou seja, para amaior que um certo limite h(r) , com h(r)>r . (As expressões da limites g(r) e h(r) são irrelevantes aqui. Vou fornecer os detalhes para qualquer pessoa interessada.) No entanto, os resultados numéricos sugerem que essas desigualdades segure por limites menos rigorosas, ou seja, para a mais perto r do que posso provar.

Então, eu gostaria de saber se existe algum teorema ou resultado que estabeleça sob quais condições cada desigualdade se mantém (para todos os p ); isto é, quando é garantido que o DF binomial está acima / abaixo do Poisson DF limitador. Se esse teorema não existir, qualquer idéia ou ponteiro na direção certa será apreciada.

Observe que uma pergunta semelhante, formulada em termos de funções beta e gama incompletas, foi publicada em math.stackexchange.com, mas não obteve resposta.

Luis Mendo
fonte
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Essa é uma pergunta interessante, embora eu ache que ajudaria a esclarecer algumas coisas, particularmente quais são as "partes móveis" e quais não são. Parece que você deseja um limite que seja uniforme em para cada fixo . Mas, qual é o papel de aqui? Não deve importar muito, mas é necessária uma introdução? Uma abordagem pode ser examinar as coisas em termos de tempos de espera de um processo de Poisson e associá-las aos tempos de espera geométricos associados (através do limite de cada um) para sua variável aleatória binomial. Mas isso pode não render o uniforme que você procura. r dp rd
cardeal
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@ cardinal Obrigado por reservar um tempo. Sim, quero que o limite seja uniforme na p. Todos os outros parâmetros são fixos (mas selecionáveis). é apenas um desses parâmetros livres. Por exemplo, um resultado hipotético pode ser o seguinte: "Para qualquer natural maior que e qualquer , a primeira desigualdade vale para todos os e para todos os ; e o segundo vale para todas e para todos os .r 2 d ( - 1 , 1 ) a < r - dr2d(1,1) p(0,1)a>r+a<rrp(0,1) p(0,1)a>r+rp(0,1)
Luis Mendo
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Existe uma teoria de stein chen que estima erros quando você usa o poisson rv para estimar a soma das variáveis ​​independentes necessárias do bernoulli. Não tenho certeza sobre sua pergunta.
precisa saber é o seguinte
Para finito , a distribuição binomial fechou o suporte de cima. Seu tamanho pode ser selecionável (escolhendo ), mas está fechado. Por outro lado, a distribuição de Poisson tem suporte ilimitado. Como estamos analisando as CDFs, para qualquer finito , sempre teremos para quaisquer valores permitidos de . Portanto, as condições para a 2ª desigualdade após o OP sempre incluirão, pelo menos, "para ..."nnn
B(n,p,r=n)=1>F(a,n)
p,ar<n
Alecos Papadopoulos
Veja a resposta de Did aqui: math.stackexchange.com/questions/37018/…
Alex R.

Respostas:

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No que diz respeito ao seguinte:

  • a média de um dist binômio énp

  • a variação énp(1p)

  • a média de um dist de Poisson é , que podemos imaginar como n × pλn×p

  • a variação de um Poisson é a mesma que a média

Agora, se um Poisson é o limite para um binômio com os parâmetros e p , de modo que n aumenta para o infinito ep diminui para zero enquanto o produto permanece constante, assumindo que n e p não são convergidos para seus respectivos limites, a expressão n p é sempre maior que n p ( 1 - p ) ; portanto, a variação do binômio é menor que a de Poisson. Isso implicaria que o binômio está abaixo nas caudas e acima em outros lugares.npnpnpnpnp(1p)

Germaniawerks
fonte
Obrigado pela sua contribuição. Parece-me que ele não resolve a questão, porque (1) o OP está interessado no CDF, não no PDF. (2) Ele pede uma resposta quantitativa.
whuber