Devo usar os graus aproximados de liberdade de Welch (1947) ou os de Satterthwaite (1946)?

Estou confuso quanto à fórmula correta para graus aproximados de liberdade para usar no teste t de Welch. A fórmula de Satterthwaite (1946) é a fórmula mais citada, mas Welch deu uma alternativa em 1947. Não sei ao certo qual é preferível (ou usado pela maioria dos softwares estatísticos).

Fórmula de Satterthwaite:

\frac{{(s_{x}^{2} / n_{x} + s_{y}^{2} / n_{y})}^{2}}{(s_{x}^{2} / n_{x})^{2} / (n_{x} - 1) + (s_{y}^{2} / n_{y})^{2} / (n_{y} - 1)}

$\frac{\left(s_x^2/n_x +s_y^2/n_y\right)^2}{(s_x^2/n_x )^2/(n_x-1)+(s_y^2/n_y )^2/(n_y-1)}$

Fórmula de Welch:

- 2 + \frac{{(s_{x}^{2} / n_{x} + s_{y}^{2} / n_{y})}^{2}}{(s_{x}^{2} / n_{x})^{2} / (n_{x} + 1) + (s_{y}^{2} / n_{y})^{2} / (n_{y} + 1)}

$-2+ \frac{\left(s_x^2/n_x +s_y^2/n_y\right)^2}{(s_x^2/n_x )^2/(n_x+1)+(s_y^2/n_y )^2/(n_y+1)}$

Referências:

Satterthwaite, FE (1946). "Uma distribuição aproximada de estimativas de componentes de variância". Biometrics Bulletin , 2, 6, pp. 110-114.
Welch, BL (1947). "A generalização do problema de" Student "quando várias variações populacionais diferentes estão envolvidas". Biometrika , 34, 1/2, pp. 28–35.

hypothesis-testing t-test degrees-of-freedom Helen
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Respostas:

Bem-vindo ao CV!

Não sei responder qual é o preferido (eles são realmente muito próximos, então acho que não importa muito), mas geralmente os principais pacotes de software estatístico usam o método de Satterthwaite. SPSSe SASambos usam. Em Stata, alguns comandos como ttestpermitiriam ao usuário especificar o método de Welch, mas o de Satterthwaite ainda é o padrão.

E na literatura, vi principalmente a fórmula de Satterthwaite sendo citada. De tempos em tempos, são chamados de graus de liberdade de Satterthwaite-Welch, mas a fórmula citada é de Satterthwaite. Eu acho que ter publicado um ano antes importava.

Penguin_Knight
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Pelo que vale a pena para o OP, acho que nunca vi a versão da fórmula atribuída a Welch, então concordo com Penguin_Knight que o Satterthwaite's é de uso mais comum.

Jake Westfall

Welch publicado originalmente em 1938, não em 1946: Welch, BL (1938) "O significado da diferença entre duas médias quando as variações populacionais são desiguais", Biometrika 29, 350–62.

whuber

Obrigado a todos por seus comentários. Na verdade, encontrei a resposta - no artigo de Aspin, de 1949, Welch acrescenta um comentário no apêndice refutando sua fórmula de graus de liberdade. Parece que Satterthwaite's é o único a usar! Aspin, AA (1949). Biometrika, 36, 290-296.

Helen