Existe algum "padrão" para a notação de modelo estatístico?

Por exemplo, no manual BUGS ou no próximo livro de Lee e Wagenmakers ( pdf ) e em muitos outros lugares, é usado um tipo de notação que me parece muito flexível, pois pode ser usada para descrever sucintamente a maioria dos modelos estatísticos. Um exemplo dessa notação é o seguinte:

$$y_i \sim \text{Binomial}(p_i,n_i) \\ \log(\frac{p_i}{1 - p_i}) = b_i \\ b_i \sim \text{Normal}(\mu_p,\sigma_p)$$

que descreveria um modelo logístico hierárquico sem preditores, mas com grupos. Essa maneira de descrever modelos parece funcionar igualmente bem para descrever modelos freqüentistas e bayesianos, por exemplo, para tornar essa descrição totalmente bayesiana, você teria que adicionar anteriores em \ mu_p e \ sigma_p .μ p σ $i = 1\dots n$$\mu_p$$\sigma_p$

Esse tipo de notação / formalismo de modelo é descrito em detalhes em algum artigo ou livro?

Se você quiser usar essa notação para escrever modelos, existem muitas maneiras diferentes de fazer as coisas e seria realmente útil com um guia abrangente para seguir e referenciar outras pessoas. Algumas diferenças que encontrei na maneira como as pessoas usam esse tipo de notação:

• Como você chama distribuições? Por exemplo, eu vi $\mathcal{N},\text{N},\text{Norm},\text{Normal}$ etc.
• Como você lida com índices? Por exemplo, eu vi $y_{ij}$ , $y_{i[j]}$ , $y_{j|i}$ , etc.
• Quais símbolos de parâmetro são geralmente usados ​​para parâmetros. Por exemplo, é comum usar $\mu$ como a média para a distribuição normal, mas e outras distribuições? (Para isso, costumo verificar as distribuições da Wikipedia )

Pergunta de acompanhamento: Esta notação tem um nome? (Por falta de um nome melhor, chamei de convenção centrada na distribuição de probabilidade em um post que escrevi ...)

Alguns padrões recomendados para notação estatística são apresentados em Halperin, Hartley e Hoel (1965) e Sanders e Pugh (1972) . A maior parte da notação atual vem de convenções estabelecidas pelos estatísticos biométricos no final do século XIX e início do século XX (a maior parte foi feita por Pearson, Fisher e seus associados). Uma lista útil de usos iniciais de notação é mantido pelo economista John Aldrich aqui , e um relato histórico da escola biométrica Inglês é publicado em Aldrich (2003) . (Se você tiver mais dúvidas sobre esse tópico, Aldrich é provavelmente o principal especialista em vida do mundo na história da notação em estatística.)

Além deste trabalho explícito, existem muitos livros que apresentam introduções ao campo e são cuidadosos ao definir notação consistente com convenções comuns, definindo a notação à medida que avançam. Existem muitas convenções conhecidas nesse campo, que são consistentes na literatura, e os estatísticos estão familiarizadas com elas através da prática, mesmo sem ter lido as recomendações desses pesquisadores.

Ambiguidade da notação centrada na distribuição: O uso da notação "centrada na distribuição" é uma convenção padrão usada em toda a literatura estatística. No entanto, uma coisa interessante a destacar sobre essa notação é que há um pouco de espaço de manobra sobre o que realmente significa. A convenção padrão é ler o objeto no lado direito dessas instruções como algum tipo de descrição de uma medida de probabilidade (por exemplo, uma função de distribuição, função de densidade, etc.) e depois ler o$\sim$relação com o significado "... tem distribuição ..." ou "... tem medida de probabilidade ...", etc. Sob essa interpretação, a relação compara dois conjuntos distintos de coisas; o objeto no lado esquerdo é uma variável aleatória e o objeto no lado direito é uma descrição de uma medida de probabilidade.

No entanto, também é igualmente válido interpretar o lado direito como uma referência a uma variável aleatória (em oposição a uma distribuição) e ler a relação como significando "... tem a mesma distribuição que ..." . Sob essa interpretação, a relação é uma relação de equivalência comparando variáveis ​​aleatórias; os objetos do lado esquerdo e do lado direito são variáveis ​​aleatórias e a relação é reflexiva, simétrica e transitiva.$\sim$

Isso fornece duas interpretações possíveis (e igualmente válidas) de uma declaração como:

$$X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2).$$

• Interpretação distributiva: " possui distribuição de probabilidade ". Essa interpretação considera o último objeto uma descrição de uma medida de probabilidade normal (por exemplo, sua função de densidade, função de distribuição, etc.).$X$$\text{N}(\mu, \sigma^2)$

• Interpretação de variável aleatória: " tem a mesma distribuição de probabilidade que ". Essa interpretação considera o último objeto uma variável aleatória normal.$X$$\text{N}(\mu, \sigma^2)$

Cada interpretação tem vantagens e desvantagens. A vantagem da interpretação de variável aleatória é que ela usa o símbolo padrão para se referir a uma relação de equivalência , mas sua desvantagem é que requer referência a variáveis ​​aleatórias com notação semelhante às suas funções de distribuição. A vantagem da interpretação distributiva é que ela usa notação semelhante para as distribuições como um todo e suas formas funcionais com um determinado valor de argumento; a desvantagem é que ele usa o símbolo uma maneira que não é uma relação de equivalência.$\sim$$\sim$

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Aldrich, J. (2003) A Língua da International Statistical Review da Escola Biométrica Inglesa 71 (1) , pp. 109-131.

Halperin, M., Hartley, HO e Hoel, PG (1965) Padrões recomendados para símbolos estatísticos e notação . The American Statistician 19 (3) , pp. 12-14.

Sanders, JR e Pugh, RC (1972) Recomendação para um conjunto padrão de símbolos e notações estatísticas . Pesquisador Educacional 1 (11) , pp. 15-16.