Problema ao calcular a distribuição conjunta e marginal de duas distribuições uniformes

Suponhamos que temos variável aleatória distribuído como L [ 0 , 1 ] e X 2 distribuído como L [ 0 , X 1 ] , em que L [ a , b ] significa distribuição uniforme no intervalo [ a , b ] .$X_1$$U[0,1]$$X_2$$U[0,X_1]$$U[a,b]$$[a,b]$

Eu era capaz de calcular pdf conjunto de e pdf marginal de X 1 .$(X_1,X_2)$$X_1$

$$p(x_1,x_2) = \frac{1}{x_1}, \text{ for }\quad 0\le x_1\le 1, \quad 0\le x_2 \le x_1,$$

$$p(x_1)= 1, \text{ for } \quad 0\le x_1\le 1.$$

No entanto, ao calcular pdf marginal de , encontro um problema de limites. O resultante da integral através do marginal de X 2 é log ( X 1 ) e os limites são de 0 a 1. Como log ( X 1 ) não está definido para X 1 = 0 , estou enfrentando uma dificuldade.$X_2$$X_2$$\log(X_1)$$\log(X_1)$$X_1=0$

Estou errado em algum lugar? Obrigado.

Na integral "marginalização", o limite inferior para não é 0, mas x 2 (devido à condição 0 < x 2 < x 1 ).$x_1$$0$$x_2$$0<x_2<x_1$

Portanto, a integral deve ser:

$$p(x_2)=\int p(x_1,x_2) dx_1=\int \frac{I(0\leq x_2\leq x_1\leq 1)}{x_1} dx_1=\int_{x_2}^{1} \frac{dx_1}{x_1}=log\big(\frac{1}{x_2}\big)$$

Você tropeçou, o que eu acho que é uma das partes mais difíceis das integrais estatísticas - determinar os limites da integração.

NOTA: Isso é consistente com a resposta de Henry, o meu é o PDF e o dele é o CDF. Diferenciar a resposta dele dá a minha, o que mostra que ambos estamos certos.

$X_1$$X_2$

$P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$$-\log(x_2)$

$P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = 1$$x_1 \le x_2$$P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = \frac{x_2}{x_1}$$x_2 \le x_1$

$$P(X_2 \le x_2) = \int_{x_1=0}^{x_2} dx_1 + \int_{x_1=x_2}^{1} \frac{x_2}{x_1} dx_1$$ $$= \left[ x_1 \right]_{x_1=0}^{x_1=x_2} + \left[x_2 \log(x_1)\right]_{x_1=x_2}^{x_1=1}$$ $$= x_2 - 0 +x_2 \log(1) - x_2 \log(x_2)$$ $$= x_2 (1-\log(x_2))$$