ATUALIZAÇÃO 25 de janeiro de 2014: o erro agora está corrigido. Ignore os valores calculados do Valor esperado na imagem carregada - eles estão errados. Não excluo a imagem porque ela gerou uma resposta a esta pergunta.
ATUALIZAÇÃO 10 de janeiro de 2014: o erro foi encontrado - um erro de digitação em matemática em uma das fontes utilizadas. Preparando correção ...
A densidade da ordem estatística mínima de um conjunto de iid variáveis aleatórias contínuas com CDF e pdf é F X ( x ) f X ( x ) f X ( 1 ) ( x ( 1 ) ) = n f X ( x ( 1 ) ) [ 1 - F X ( x ( 1 ) ) ] n - 1
Se essas variáveis aleatórias forem normais padrão, então
onde usamos as propriedades simétricas do padrão normal. Em Owen 1980 , p.402, eq. [ N, 011 ], encontramos que
Parâmetros correspondentes entre as eqs e ( , ) obtemos
Novamente em Owen 1980, p. 409, eq [ n0,010.2 ], achamos que
onde é o normal multivariado padrão, são os coeficientes de correlação pares e .
Combinando e , temos, , e
Usando esses resultados, a eq se torna
Essa integral de probabilidade normal padrão multivariada de variáveis equi-correlacionadas, todas avaliadas em zero , já foi investigada o suficiente e várias formas de aproximar e computar foram derivadas. Uma extensa revisão (relacionada ao cálculo de integrais de probabilidade normal multivariada em geral) é Gupta (1963) . O Gupta fornece valores explícitos para vários coeficientes de correlação e para até 12 variáveis (portanto, abrange uma coleção de 14 variáveis). Os resultados são (A ÚLTIMA COLUNA ESTÁ ERRADA) :
Agora, se representarmos graficamente como o valor de muda com , obteremos
Portanto, chego às minhas três perguntas / solicitações:
1) Alguém poderia verificar analiticamente e / ou verificar por simulação se os resultados para o valor esperado estão corretos (ou seja, verificar a validade da eq )?
2) Supondo que a abordagem esteja correta, alguém poderia dar a solução para normais com média diferente de zero e variação não unitária? Com todas as transformações, sinto-me realmente tonto.
3) O valor da integral de probabilidade parece evoluir sem problemas. Que tal aproximá-lo com alguma função de ?
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