Eu estou olhando para a distribuição da soma dos quadrados das variáveis aleatórias distribuídas em T, com expoente de cauda . Onde X é o rv, a transformação de Fourier para , fornece uma solução para o quadrado antes da convolução . X 2 F ( t ) F ( t ) n F ( t ) = ∫ ∞ 0 exp ( i
Com , a solução é possível, mas pesada e impossível de se inverter para fazer um Fourier inverso para . Portanto, a pergunta é: foi realizado um trabalho sobre a distribuição da variação da amostra ou desvio padrão das variáveis aleatórias distribuídas em T? (Seria para o StudentT o que o qui-quadrado é para o gaussiano). Obrigado.F ( t ) n
(Solução possível) Eu descobri que é Fisher distribuído, portanto, veremos a soma das variáveis distribuídas de Fisher. F ( 1 , α )
(Solução possível) A partir das funções características da média de resumiu tem os mesmos dois primeiros momentos de um de distribuição, quando estes existem. Portanto, com a raiz quadrada e fazendo uma mudança de variável dentro de uma distribuição de probabilidade, a densidade do desvio padrão das variáveis T da n-amostra pode ser aproximada com:
Respostas:
Um esclarecimento de sua pergunta (parece-me haver duas partes relacionadas, mas diferentes): você está procurando (1) distribuição de uma soma de variáveis quadráticas independentes independentes t_ e (2) a amostragem distribuição da variância (ou desvio padrão relacionado) de uma amostra aleatória retirada de uma distribuição (presumivelmente o seu motivo para perguntar sobre (1)).n tα tα
Distribuição da soma das variáveis quadráticas independentestα
Se são variáveis aleatórias (independentes) com df, é falso que (que é o que você parece reivindicar em sua segunda "solução possível"). Isso é facilmente verificado considerando o primeiro momento de cada um (o primeiro momento do último é vezes o primeiro).Ti∼tα t α ∑ni=1T2i∼F(n,α) n
A afirmação em sua primeira "solução possível" está correta: . Em vez de recorrer a funções características, acho que esse resultado é mais transparente ao considerar a caracterização da distribuição como a distribuição da razão que é uma variável normal padrão e é uma variável do qui-quadrado com graus de liberdade, independentes de . O quadrado dessa razão é, então, a razão de duas variáveis independentes do qui-quadrado, escaladas por seus respectivos graus de liberdade, isto é, comT2i∼F(1,α) t ZU/α√ Z U α Z V/1U/α V=Z2 , que é uma caracterização padrão de uma distribuição (com o numerador df igual a 1 e o denominador df igual a ).F(1,α) α
Considerando a observação que fiz nos primeiros momentos do primeiro parágrafo acima, pode parecer que uma afirmação melhor pode ser que [Eu tenho notação levemente abusada aqui, usando a mesma expressão para a distribuição, bem como uma variável aleatória com essa distribuição.]. Enquanto os primeiros momentos coincidem, os segundos momentos centrais não (para a variação da primeira expressão é menor que a variação da última expressão) - portanto, essa afirmação também é falsa. [Dito isto, é interessante observar que , que é o resultado que esperamos ao somar ao quadrado (padrão) variáveis normais.]∑ni=1T2i∼nF(n,α) α>4 limα→∞nF(n,α)=χ2n
Amostragem de distribuição de variação ao amostrar de uma distribuiçãotα
Considerando o que escrevi acima, a expressão que você obtém para "a densidade do desvio padrão das variáveis T da n-amostra" está incorreta. No entanto, mesmo que sido a distribuição correta, o desvio padrão não é simplesmente a raiz quadrada da soma dos quadrados (como você parece ter usado para chegar à sua densidade ). Em vez disso, você procuraria a distribuição de amostragem (em escala) de . No caso normal, o LHS dessa expressão pode ser reescrito como uma soma de variáveis normais ao quadrado (o termo dentro do quadrado pode ser reescrito como uma combinação linear de variáveis normais que é novamente normalmente distribuída), o que leva à familiarF(n,α) g(u) χ 2 t t∑ni=1(Ti−T¯)2=∑ni=1T2i−nT¯2 χ2 . Infelizmente, uma combinação linear de variáveis (mesmo com os mesmos graus de liberdade) não é distribuída como , portanto, uma abordagem semelhante não pode ser explorada.t t
Talvez você deva reconsiderar o que deseja demonstrar? Pode ser possível alcançar o objetivo usando algumas simulações, por exemplo. No entanto, você indica um exemplo com , uma situação em que apenas o primeiro momento de é finito; portanto, a simulação não ajudará nos cálculos desse momento. F ( 1 , α )α=3 F(1,α)
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Você pode conferir a distribuição T da Hotelling ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution ). Há relações com sendo uma distribuição ( http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distributions_and_properties ), mas não tenho certeza se é exatamente isso que você está pedindo. FT2 F
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