Explicando a decomposição de Beveridge Nelson

Alguém pode explicar como a decomposição de Beveridge-Nelson funciona? Até agora, tudo o que sei é que estima ciclos de tendência em dados de séries temporais não estacionárias.

Eu olhei para vários artigos de periódicos e ainda estou confuso sobre como ele funciona http://research.economics.unsw.edu.au/jmorley/bn.pdf

A decomposição de Beveridge-Nelson é uma decomposição do processo . Esse processo tem uma raiz unitária:$ARIMA(p,1,q)$

$$y_t=y_{t-1}+u_{t},$$

mas é um processo de ruído branco, é um processo A R M A ( p , q ) . O que Beveridge e Nelson em seu artigo original observaram é que é possível decompor esse processo em duas partes:$u_t$$ARMA(p,q)$

$$y_t=\tau_t+\xi_t,$$

onde é agora passeio aleatório "puro", ou seja, τ t = τ t - 1 + ε t , onde ε t é um branco proces ruído. O termo ξ t é outro processo estacionário. Essa decomposição é uma identidade algébrica (os detalhes abaixo), mas pode levar a interpretações interessantes.$\tau_t$$\tau_t=\tau_{t-1}+\varepsilon_t$$\varepsilon_t$$\xi_t$

A declaração precisa. Vamos , onde ε t é um processo ruído branco e Σ j | ψ j | < ∞ . Então$u_t=\sum_{j=0}^\infty \psi_{j}\varepsilon_{t-j}$$\varepsilon_t$$\sum j|\psi_j|<\infty$

$$u_1+...+u_t=\psi(1)(\varepsilon_1+...+\varepsilon_t)+\eta_t-\eta_0,$$

Onde

$$\psi(1)=\sum_{j=0}^\infty\psi_j,\quad \eta_t=\sum_{j=0}^\infty\alpha_j\varepsilon_{t-j},\quad \alpha_j=-(\psi_{j+1}+\psi_{j+2}+...), \quad \sum|\alpha_j|<\infty.$$

Essa decomposição tem boa aplicação, por exemplo

$$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^Tu_{t}=\frac{1}{\sqrt{T}}\psi(1)\sum_{t=1}^T\varepsilon_t+\frac{1}{\sqrt{T}}(\eta_t-\eta_0)\to N(0,[\psi(1)\sigma]^2),$$

onde aplicamos o teorema do limite central para o primeiro termo e observamos que o segundo termo é zero, devido à estacionariedade (média é zero e a variação do termo é zero, devido a T no denominador).

Portanto, entendemos que o comportamento limitante do processo ARIMA (p, 1, q) é simplesmente o mesmo que para um processo ARIMA (0,1,0). Esse fato é muito utilizado na literatura de séries temporais. Por exemplo, o teste de raiz unitária Phillips e Perron é baseado nele.