Traduzir o comando glm de R em notação matemática

Eu tenho o seguinte modelo linear generalizado. O objeto glmDVé modelado como uma proporção de sucessos em relação ao total de tentativas. Os objetos x_isão variáveis ​​contínuas.

Como isso se parece na notação matemática?

winp.glm = glm(glmDV ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7, 
               data=myData, family=binomial("logit"))

Para uma regressão logística binária, o caso de uso usual para o GLM binomial com um link de logit, você está modelando a probabilidade de que sua variável dependente seja um "sucesso" (ou "sim"), convencionalmente codificado como . A maneira como você está fazendo isso é modelando as probabilidades de log. Portanto, em vez de modelar a média da resposta como no OLS, você está modelando a alteração nas probabilidades do log:Pr ( Y = 1 ) = θ = logit - 1 ( β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . + Β 7 x 7$1$

$$\Pr(y=1)=\theta=\text{logit}^{-1}(\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_7x_7)$$

Onde e .logit-1(x)=exp(x$\text{logit}(x)=\log(\frac{x}{1-x})$$\text{logit}^{-1}(x)=\frac{\exp(x)}{1+\exp(x)}$

Uma explicação mais completa e muito acessível sobre isso pode ser encontrada em Agresti, Uma introdução à análise de dados categóricos.

Mas para sua pergunta específica, você afirma que está modelando a proporção de sucessos. Na verdade, não é isso que um GLM binomial está acostumado a fazer. No entanto, o que você realmente procura é o que um GLM binomial faz, e ainda é possível em R. Isso requer apenas um pequeno ajuste no que você está fazendo. No caso de você ter um número finito de tentativas que podem ter , você ainda pode usar o mesmo modelo, que possui densidade Como seus valores são fixados pelo design experimental e são seus sucessos observados, você está realizando uma inferência no parâmetroy ∈ { 0 ... n } Pr ( y ) ∼ ($n$$y \in \{0...n\}$

$$\Pr(y) \sim \binom{n}{y}\theta^y(1-\theta)^{n-y}$$ y θ n y θ θ logit ( θ ) = β 0 + β 1 x 1 + . . . + β i x i$n$$y$$\theta$ da mesma maneira que no caso de resposta binária mais típico (acima), no qual é fixado em 1, assume o valor 1 com probabilidade e é uma função dos seus parâmetros. Para o caso do link logit, , principalmente porque esse transformado existe em toda a linha real, em vez do intervalo de unidade . (Outras propriedades desejáveis ​​do link de logit são descritas em Agresti, incluindo a validade dos coeficientes, mesmo em ambientes onde amostras não aleatórias, como projetos de controle de caso, são usadas; não é o caso, por exemplo, de funções de link de probit.)$n$$y$$\theta$$\theta$ $$\text{logit}(\theta)=\beta_0+\beta_1x_1+...+\beta_ix_i$$ $\theta$

Em termos de R, basta criar um objeto (denominado glmDV) que é uma matriz de duas colunas, a primeira coluna o número de sucessos e a segunda o número total de falhas . O restante da declaração permanece o mesmo!n - $y$$n-y$