Como a distribuição beta é semelhante em forma ao binômio, por que precisamos da distribuição beta?

11

Parece que a distribuição binomial é muito semelhante em forma à distribuição beta e que posso parametrizar constantes em qualquer um dos pdf para fazê-las parecer iguais. Então, por que precisamos da distribuição beta? É para um propósito específico? Obrigado!

user123276
fonte
6
"Posso parametrizar constantes em qualquer um dos pdf para torná-las iguais" - você tentou? Você não pode. A distribuição binomial nem sequer tem um pdf; tem um pmf.
Neil G
1
Como todo mundo já apontou, o beta e o binômio não estão na mesma família de distribuições (ou seja, um não é uma generalização do outro). No entanto, existem várias outras distribuições que são generalizações de outras, como a exponencial (\ beta) é apenas uma gama (\ alpha = 1, \ beta). Às vezes, é conveniente trabalhar e ter resultados com base em uma forma específica de uma distribuição, em vez de sempre ter que usar as formas generalizadas complexas.
Bdonovic
1
Para entender melhor a distribuição beta, pode ser útil
gung - Restabelece Monica
Observe que o binômio não possui um pdf; sendo discreto, tem uma função de probabilidade.
Glen_b -Reinstala Monica

Respostas:

19

Eles estão relacionados, mas na verdade não são tão semelhantes em forma.

Na versão beta, a variável (e seu complemento) é elevada a alguma potência, mas no binômio a variável é a potência (e também aparece em um coeficiente binomial).

Embora as formas funcionais sejam parecidas (existem termos em um que correspondem a termos no outro), as variáveis ​​que representam os parâmetros e a variável aleatória em cada um são diferentes. Isso é bastante importante; é por isso que eles não são a mesma coisa.

A distribuição binomial é geralmente usada para contagens , ou em forma de escala, para proporções baseadas em contagens (embora você possa usá-la para outras variáveis ​​aleatórias discretas e limitadas de maneira puramente pragmática). É discreto.

A distribuição beta é contínua e, portanto, normalmente não é usada para contagens.


A título de exemplo, compare estas duas funções:

y=bx,x=0,1,2,3,... e .y=xa,0<x<1

Ambas as funções são definidas por expressões da mesma forma (algo da forma ), mas os papéis de variável e constante são trocados e o domínio é diferente. O relacionamento entre o beta e o binômio é como o relacionamento entre essas duas funções.cd

- Em resumo: forma diferente e domínio diferente

Aqui está um exemplo simples de uma distribuição beta, o . Qual distribuição binomial faz o mesmo trabalho?beta(1,1)

insira a descrição da imagem aqui

Ou considere a ; é difícil encontrar um binômio parecido. Aqui está uma tentativa:beta(2,1)

insira a descrição da imagem aqui

Todo o pdf beta fica entre os dois primeiros picos verdes no binômio pf, embora eles não possam realmente ser mostrados no mesmo gráfico porque os eixos y medem coisas diferentes.

Embora as formas sejam vagamente semelhantes no sentido de que ambas estão inclinadas, elas são realmente bem diferentes e usadas para coisas diferentes.

-

Aqui está um desafio:

Para e um , encontre distribuições binomiais (presumivelmente dimensionadas) que possam simultaneamente com precisão razoável (digamos em vezes a probabilidade correta, mais ou menos, que têm a mesma média e variância ou média e intervalo (você escolhe), mas também reproduz aproximadamente a probabilidade de estar nesses três subintervalos: (a) , (b) e (c)X 2X1beta(1,1)c = ( 0,95 , 1,05 ) ( 1 / π , 1 / e ) ( exp ( - 1X2beta(3,2)c=(0.95,1.05)(1/π,1/e)(exp(-3),1/π2)(exp(12),2/π)(exp(3),1/π2)


O beta é usado para fazer muitas coisas, incluindo proporções contínuas do modelo, agir como a priori no parâmetro de um binômio, é a distribuição de estatísticas uniformes de pedidos (e pode ser usado na derivação da distribuição de estatísticas de pedidos para outros distribuições contínuas, usadas como uma distribuição de mistura para o binômio (produzindo a distribuição beta-binomial), para modelar os tempos de conclusão da tarefa no gerenciamento de projetos e muitas outras coisas.ppp

Glen_b -Reinstate Monica
fonte
para beta (1,1), entendo que é uma distribuição uniforme em [0,1]. Mas para o binômio, é o caso em que não temos nenhum teste?
User123276
6
O número de sucessos em tentativas de zero é sempre zero, portanto a função de probabilidade é um pico em zero e o cdf é uma função de etapa que salta de 0 a 1 em x = 0. Então ... nada como um uniforme em (0,1).
Glen_b -Reinstala Monica