Se as distribuições com os mesmos momentos são idênticas

A seguir, são semelhantes, mas diferentes dos posts anteriores, aqui e aqui

1. Dadas duas distribuições que admitem momentos de todas as ordens, se todos os momentos de duas distribuições são iguais, então são distribuições idênticas ae?
2. Dadas duas distribuições que admitem funções geradoras de momentos, se elas tiverem os mesmos momentos, elas são iguais?

Deixe-me responder na ordem inversa:

2. sim Se os MGFs existirem, eles serão os mesmos *.

veja aqui e aqui por exemplo

De fato, decorre do resultado que você fornece no post de onde vem; se o MGF ** determinar exclusivamente a distribuição e duas distribuições tiverem MGFs e elas tiverem a mesma distribuição, elas deverão ter o mesmo MGF (caso contrário, você teria um contra-exemplo de 'MGFs determina exclusivamente distribuições').

* para determinados valores 'iguais', devido a essa frase 'quase todos os lugares'

** " quase todos os lugares "

1. Não - já que existem contra-exemplos.

Kendall e Stuart listam uma família de distribuição contínua (possivelmente devido a Stieltjes ou alguém dessa safra, mas minha lembrança não é clara, faz algumas décadas) que têm sequências de momentos idênticas e ainda são diferentes.

O livro de Romano e Siegel (contra-exemplos em probabilidade e estatística) lista contra-exemplos nas seções 3.14 e 3.15 (páginas 48-49). (Na verdade, olhando para eles, acho que os dois estavam em Kendall e Stuart.)

Romano, JP e Siegel, AF (1986),
Contra-exemplos em Probabilidade e Estatística.
Boca Raton: Chapman e Hall / CRC.

Para 3.15, eles creditam Feller, 1971, p227

Esse segundo exemplo envolve a família de densidades

As densidades diferem à medida que muda, mas as seqüências de momento são as mesmas.$\alpha$

$f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

e, em seguida, mostrando que a segunda parte contribui com 0 para cada momento, para que sejam todos iguais aos momentos da primeira parte.

$\alpha=0$$\alpha=0.5$

Melhor ainda, talvez, ter tomado um alcance muito maior e usado uma escala de quarta raiz no eixo x, tornando a curva azul reta, e a verde se movendo como uma curva de pecado acima e abaixo dela, algo assim:

As oscilações acima e abaixo da curva azul - de magnitude maior ou menor - acabam deixando todos os momentos inteiros positivos inalterados.

$X_1,X_2$$\alpha$$X_1$$-X_2$