Distribuição amostral do raio da distribuição normal 2D

A distribuição normal bivariada com média e matriz de covariância pode ser reescrita em coordenadas polares com raio e ângulo . Minha pergunta é: Qual é a distribuição amostral de , isto é, a distância de um ponto ao centro estimado dada a matriz de covariância da amostra ?$\mu$$\Sigma$$r$$\theta$$\hat{r}$$x$$\bar{x}$$S$

Antecedentes: A verdadeira distância de um ponto à média segue uma distribuição de Hoyt . Com os valores próprios de e , seu parâmetro de forma é e seu parâmetro de escala é . Sabe-se que a função de distribuição cumulativa é a diferença simétrica entre duas funções Q Marcum.$r$$x$$\mu$$\lambda_{1}, \lambda_{2}$$\Sigma$$\lambda_{1} > \lambda_{2}$$q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$$\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

A simulação sugere que a inserção de estimativas e para e no cdf verdadeiro funcione para amostras grandes, mas não para amostras pequenas. O diagrama a seguir mostra os resultados de 200 vezes$\bar{x}$$S$$\mu$$\Sigma$

• simulando 20 vetores normais 2D para cada combinação de ( eixo ), (linhas) e quantil (colunas)$q$$x$$\omega$
• para cada amostra, calculando o quantil fornecido do raio observado para$\hat{r}$$\bar{x}$
• Para cada amostra, o cálculo do quantil do Hoyt teórica (normal 2D) ED, e a partir do CDF teórico Rayleigh depois de ligar as estimativas de amostra e .$\bar{x}$$S$

À medida que aproxima de 1 (a distribuição se torna circular), os quantis estimados de Hoyt se aproximam dos quantis estimados de Rayleigh que não são afetados por . À medida que o cresce, a diferença entre os quantis empíricos e os estimados aumenta, notadamente na cauda da distribuição.q $q$$q$$\omega$

Como você mencionou em seu post, sabemos a distribuição da estimativa de se assim sabemos a distribuição da estimativa do valor verdadeiro . μ ^ r 2 t r u e r$\widehat{r_{true}}$$\mu$$\widehat{r^2_{true}}$$r^2$

Queremos encontrar a distribuição de onde são expressos como vetores de coluna.x

$$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$$ $x_i$

Agora fazemos o truque padrão

$$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$$ onde surge da equação e sua transposição.$(1)$ $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$$

Observe que é o traço da matriz de covariância da amostra e depende apenas apenas da média da amostra . Assim, escrevemos como a soma de dois variáveis ​​aleatórias independentes. Conhecemos as distribuições de e e, portanto, terminamos o truque padrão usando esse funções características são multiplicativas.$\widehat{r^2}$$S$$(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$$\overline{x}$

$$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$$ $\widehat{r^2_{true}}$$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

Editado para adicionar:

$||x_i-\mu||$é Hoyt, portanto, ele tem pdf que é a função de Bessel modificada do primeiro tipo .

$$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$$ $I_0$$0^{th}$

Isso significa que o pdf de é $||x_i-\mu||^2$

$$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$$

Para facilitar a notação definir , e .$a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$$b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$$c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

A função geradora de momento de é $||x_i-\mu||^2$

$$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$$

Assim, a função geradora de momento de é e a função de geração de momentos de é $\widehat{r^2_{true}}$

$$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$$ $||\overline{x} - \mu||^2$ $$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$$

Isso implica que a função geradora de momento de é $\widehat{r^2}$

$$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$$

A aplicação da conversão inversa de Laplace fornece que possui pdf $\widehat{r^2}$

$$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$$