Implementação passo a passo do PCA em R usando o tutorial de Lindsay Smith

Estou trabalhando no R através de um excelente tutorial de PCA de Lindsay I Smith e estou ficando paralisado na última etapa. O script R abaixo nos leva ao estágio (na p.19) em que os dados originais estão sendo reconstruídos a partir do (principal neste caso) Componente Principal, que deve gerar um gráfico de linha reta ao longo do eixo PCA1 (dado que os dados possui apenas 2 dimensões, sendo a segunda eliminada intencionalmente).

d = data.frame(x=c(2.5,0.5,2.2,1.9,3.1,2.3,2.0,1.0,1.5,1.1),
               y=c(2.4,0.7,2.9,2.2,3.0,2.7,1.6,1.1,1.6,0.9))

# mean-adjusted values 
d$x_adj = d$x - mean(d$x)
d$y_adj = d$y - mean(d$y)

# calculate covariance matrix and eigenvectors/values
(cm = cov(d[,1:2]))

#### outputs #############
#          x         y
# x 0.6165556 0.6154444
# y 0.6154444 0.7165556
##########################

(e = eigen(cm))

##### outputs ##############
# $values
# [1] 1.2840277 0.0490834
#
# $vectors
#          [,1]       [,2]
# [1,] 0.6778734 -0.7351787
# [2,] 0.7351787  0.6778734
###########################


# principal component vector slopes
s1 = e$vectors[1,1] / e$vectors[2,1] # PC1
s2 = e$vectors[1,2] / e$vectors[2,2] # PC2

plot(d$x_adj, d$y_adj, asp=T, pch=16, xlab='x', ylab='y')
abline(a=0, b=s1, col='red')
abline(a=0, b=s2)

# PCA data = rowFeatureVector (transposed eigenvectors) * RowDataAdjust (mean adjusted, also transposed)
feat_vec = t(e$vectors)
row_data_adj = t(d[,3:4])
final_data = data.frame(t(feat_vec %*% row_data_adj)) # ?matmult for details
names(final_data) = c('x','y')

#### outputs ###############
# final_data
#              x           y
# 1   0.82797019 -0.17511531
# 2  -1.77758033  0.14285723
# 3   0.99219749  0.38437499
# 4   0.27421042  0.13041721
# 5   1.67580142 -0.20949846
# 6   0.91294910  0.17528244
# 7  -0.09910944 -0.34982470
# 8  -1.14457216  0.04641726
# 9  -0.43804614  0.01776463
# 10 -1.22382056 -0.16267529
############################

# final_data[[1]] = -final_data[[1]] # for some reason the x-axis data is negative the tutorial's result

plot(final_data, asp=T, xlab='PCA 1', ylab='PCA 2', pch=16)

Isso é o máximo que eu tenho, e tudo bem até agora. Mas não consigo descobrir como os dados são obtidos para o gráfico final - a variação atribuível ao PCA 1 - que Smith plota como:

Isto é o que eu tentei (que ignora a adição dos meios originais):

trans_data = final_data
trans_data[,2] = 0
row_orig_data = t(t(feat_vec[1,]) %*% t(trans_data))
plot(row_orig_data, asp=T, pch=16)

.. e tem um erro:

.. porque eu perdi uma dimensão de dados de alguma forma na multiplicação da matriz. Ficaria muito grato por ter uma ideia do que está acontecendo de errado aqui.

* Editar *

Gostaria de saber se esta é a fórmula certa:

row_orig_data = t(t(feat_vec) %*% t(trans_data))
plot(row_orig_data, asp=T, pch=16, cex=.5)
abline(a=0, b=s1, col='red')

Mas estou um pouco confuso se sim, porque (a) entendo que as rowVectorFeaturenecessidades devem ser reduzidas à dimensionalidade desejada (o vetor próprio para PCA1) e (b) não está alinhado com o abline PCA1:

Qualquer vista muito apreciada.

Você estava muito perto e foi pego por um problema sutil ao trabalhar com matrizes na R. Eu trabalhei com você final_datae obtive os resultados corretos independentemente. Então, olhei mais de perto o seu código. Para encurtar uma longa história, onde você escreveu

row_orig_data = t(t(feat_vec[1,]) %*% t(trans_data))

você teria ficado bem se tivesse escrito

row_orig_data = t(t(feat_vec) %*% t(trans_data))

trans_data$2\times1$$2\times10$t(feat_vec[1,])$1\times2$row_orig_data = t(as.matrix(feat_vec[1,],ncol=1,nrow=2) %*% t(trans_data))non-conformable arguments

row_orig_data = t(as.matrix(feat_vec[1,],ncol=1,nrow=2) %*% t(trans_data)[1,])

$2\times1$$1\times10$final_data$20=2\times10$row_orig_data$12=2\times1 + 1\times10$

$(XY)^T=Y^TX^T$t(t(p) %*% t(q)) = q %*% t

$x/y$$y/x$

Escrever

d_in_new_basis = as.matrix(final_data)

para recuperar seus dados em sua base original, você precisa

d_in_original_basis = d_in_new_basis %*% feat_vec

Você pode zerar as partes de seus dados projetadas ao longo do segundo componente usando

d_in_new_basis_approx = d_in_new_basis
d_in_new_basis_approx[,2] = 0

e você pode transformar como antes

d_in_original_basis_approx = d_in_new_basis_approx %*% feat_vec

A plotagem no mesmo gráfico, junto com a linha do componente principal em verde, mostra como a aproximação funcionou.

plot(x=d_in_original_basis[,1]+mean(d$x),
     y=d_in_original_basis[,2]+mean(d$y),
     pch=16, xlab="x", ylab="y", xlim=c(0,3.5),ylim=c(0,3.5),
     main="black=original data\nred=original data restored using only a single eigenvector")
points(x=d_in_original_basis_approx[,1]+mean(d$x),
       y=d_in_original_basis_approx[,2]+mean(d$y),
       pch=16,col="red")
points(x=c(mean(d$x)-e$vectors[1,1]*10,mean(d$x)+e$vectors[1,1]*10), c(y=mean(d$y)-e$vectors[2,1]*10,mean(d$y)+e$vectors[2,1]*10), type="l",col="green")

Vamos voltar ao que você tinha. Esta linha estava ok

final_data = data.frame(t(feat_vec %*% row_data_adj))

feat_vec %*% row_data_adj$Y=S^TX$$S$$X$$Y$$Y$$X$$Y$$X$

Então você teve

trans_data = final_data
trans_data[,2] = 0

Tudo bem: você está zerando as partes dos dados projetadas ao longo do segundo componente. Onde isso dá errado é

row_orig_data = t(t(feat_vec[1,]) %*% t(trans_data))

$\hat Y$$Y$$\mathbf{e}_1$t(feat_vec[1,]) %*% t(trans_data)$\mathbf{e}_1 \hat Y$

$2\times1$$2\times10$$\hat Y$$Y$$\mathbf{y}_1$$\mathbf{e}_1$$\mathbf{y}_1$$i$$\mathbf{e}_1\mathbf{y}_1$$\mathbf{e}_1$$i$

Eu acho que você tem a idéia certa, mas tropeçou em um recurso desagradável de R. Aqui, novamente, a parte do código relevante como você a declarou:

trans_data = final_data
trans_data[,2] = 0
row_orig_data = t(t(feat_vec[1,]) %*% t(trans_data))
plot(row_orig_data, asp=T, pch=16)

Essencialmente final_datacontém as coordenadas dos pontos originais em relação ao sistema de coordenadas definido pelos vetores próprios da matriz de covariância. Para reconstruir os pontos originais, é necessário multiplicar cada vetor próprio pela coordenada transformada associada, por exemplo

(1) final_data[1,1]*t(feat_vec[1,] + final_data[1,2]*t(feat_vec[2,])

o que produziria as coordenadas originais do primeiro ponto. Na sua pergunta, você define o segundo componente corretamente como zero trans_data[,2] = 0,. Se você (como você já editou) calcula

(2) row_orig_data = t(t(feat_vec) %*% t(trans_data))

você calcula a fórmula (1) para todos os pontos simultaneamente. Sua primeira abordagem

row_orig_data = t(t(feat_vec[1,]) %*% t(trans_data))

calcula algo diferente e só funciona porque R elimina automaticamente o atributo de dimensão para feat_vec[1,], portanto, não é mais um vetor de linha, mas tratado como um vetor de coluna. A transposição subsequente o transforma em um vetor de linha novamente e é por isso que pelo menos o cálculo não produz um erro, mas se você passar pela matemática, verá que é algo diferente de (1). Em geral, é uma boa idéia em multiplicações de matrizes suprimir a queda do atributo de dimensão que pode ser alcançado pelo dropparâmetro, por exemplo feat_vec[1,,drop=FALSE].

$\Delta y / \Delta x$

s1 = e$vectors[2,1] / e$vectors[1,1] # PC1
s2 = e$vectors[2,2] / e$vectors[1,2] # PC2

Depois de explorar este exercício, você pode tentar as maneiras mais fáceis em R. Existem duas funções populares para executar o PCA: princompe prcomp. A princompfunção faz a decomposição do autovalor, como foi feito no seu exercício. A prcompfunção usa decomposição de valor singular. Ambos os métodos fornecerão os mesmos resultados quase o tempo todo: esta resposta explica as diferenças em R, enquanto que essa resposta explica a matemática . (Obrigado ao TooTone pelos comentários agora integrados a esta postagem.)

Aqui usamos os dois para reproduzir o exercício em R. Primeiro, usando princomp:

d = data.frame(x=c(2.5,0.5,2.2,1.9,3.1,2.3,2.0,1.0,1.5,1.1), 
               y=c(2.4,0.7,2.9,2.2,3.0,2.7,1.6,1.1,1.6,0.9))

# compute PCs
p = princomp(d,center=TRUE,retx=TRUE)

# use loadings and scores to reproduce with only first PC
loadings = t(p$loadings[,1]) 
scores = p$scores[,1] 

reproduce = scores %*% loadings  + colMeans(d)

# plots
plot(reproduce,pch=3,ylim=c(-1,4),xlim=c(-1,4))
abline(h=0,v=0,lty=3)
mtext("Original data restored using only a single eigenvector",side=3,cex=0.7)

biplot(p)

Segundo uso prcomp:

d = data.frame(x=c(2.5,0.5,2.2,1.9,3.1,2.3,2.0,1.0,1.5,1.1), 
               y=c(2.4,0.7,2.9,2.2,3.0,2.7,1.6,1.1,1.6,0.9))

# compute PCs
p = prcomp(d,center=TRUE,retx=TRUE)

# use loadings and scores to reproduce with only first PC
loadings = t(p$rotation[,1])
scores = p$x[,1]

reproduce = scores %*% loadings  + colMeans(d)

# plots
plot(reproduce,pch=3,ylim=c(-1,4),xlim=c(-1,4))
abline(h=0,v=0,lty=3)
mtext("Original data restored using only a single eigenvector",side=3,cex=0.7)

biplot(p)

Claramente, os sinais são invertidos, mas a explicação da variação é equivalente.