Explicação intuitiva da estacionariedade

Eu estava lutando com a estacionariedade na minha cabeça por um tempo ... É assim que você pensa sobre isso? Quaisquer comentários ou pensamentos adicionais serão apreciados.

O processo estacionário é aquele que gera valores de séries temporais, de modo que a média e a variação da distribuição são mantidas constantes. A rigor, isso é conhecido como forma fraca de estacionariedade ou covariância / estacionariedade média.

Forma fraca de estacionariedade é quando a série temporal apresenta média e variação constantes ao longo do tempo.

Vamos simplificar, os profissionais dizem que a série temporal estacionária é aquela sem tendência - flutua em torno da média constante e tem variação constante.

A covariância entre diferentes defasagens é constante, não depende da localização absoluta nas séries temporais. Por exemplo, a covariância entre t e t-1 (atraso de primeira ordem) deve sempre ser a mesma (para o período de 1960-1970, igual ao período de 1965-1975 ou qualquer outro período).

Nos processos não estacionários, não existe um meio de longo prazo para o qual a série reverta; então dizemos que séries temporais não estacionárias não significam reverter. Nesse caso, a variação depende da posição absoluta nas séries temporais e a variação vai para o infinito à medida que o tempo passa. Tecnicamente falando, as correlações automáticas não decaem com o tempo, mas em pequenas amostras elas desaparecem - embora lentamente.

Nos processos estacionários, os choques são temporários e se dissipam (perdem energia) ao longo do tempo. Depois de um tempo, eles não contribuem para os novos valores de séries temporais. Por exemplo, algo que aconteceu há muito tempo, como a Segunda Guerra Mundial, teve um impacto, mas as séries temporais de hoje são as mesmas que se a Segunda Guerra Mundial nunca tivesse acontecido, diríamos que o choque perdeu sua energia ou dissipado. A estacionariedade é especialmente importante, pois muitas teorias econométricas clássicas são derivadas sob as premissas de estacionariedade.

Uma forma forte de estacionariedade é quando a distribuição de uma série temporal é exatamente o mesmo durante o tempo. Em outras palavras, a distribuição das séries temporais originais é exatamente a mesma que as séries temporais atrasadas (por qualquer número de defasagens) ou mesmo sub-segmentos da série temporal. Por exemplo, a forma forte também sugere que a distribuição deve ser a mesma, mesmo para os sub-segmentos 1950-1960, 1960-1970 ou mesmo períodos sobrepostos, como 1950-1960 e 1950-1980. Essa forma de estacionariedade é chamada forte porque não assume nenhuma distribuição. Diz apenas que a distribuição de probabilidade deve ser a mesma. No caso de estacionariedade fraca, definimos a distribuição por sua média e variância. Poderíamos fazer essa simplificação porque assumimos implicitamente a distribuição normal, e a distribuição normal é totalmente definida por sua média e variância ou desvio padrão. Isso nada mais é do que dizer que a medida de probabilidade da sequência (dentro de séries temporais) é a mesma que para a sequência atrasada / deslocada de valores dentro da mesma série temporal.

Antes de tudo, é importante observar que a estacionariedade é propriedade de um processo, não de uma série temporal. Você considera o conjunto de todas as séries temporais geradas por um processo. Se as propriedades estatísticas¹ desse conjunto (média, variância, ...) são constantes ao longo do tempo, o processo é chamado de estacionário. A rigor, é impossível dizer se uma determinada série temporal foi gerada por um processo estacionário (no entanto, com algumas suposições, podemos adivinhar).

Mais intuitivamente, estacionariedade significa que não há pontos distintos no tempo para seu processo (influenciando as propriedades estatísticas de sua observação). Se isso se aplica a um determinado processo depende crucialmente do que você considera fixo ou variável para o seu processo, ou seja, o que está contido no seu conjunto.

Uma causa típica de não estacionariedade são os parâmetros dependentes do tempo - que permitem distinguir os pontos no tempo pelos valores dos parâmetros. Outra causa são condições iniciais fixas.

Considere os seguintes exemplos:

• O barulho que chega a minha casa a partir de um único carro passando em um determinado momento não é um processo estacionário. Por exemplo, a amplitude média² é mais alta quando o carro está diretamente próximo à minha casa.

• O barulho que chega à minha casa do tráfego da rua em geral é um processo estacionário, se ignorarmos a dependência do tempo da intensidade do tráfego (por exemplo, menos tráfego à noite ou nos finais de semana). Não há mais pontos distintos no tempo. Embora possa haver fortes flutuações de séries temporais individuais, elas desaparecem quando considero o conjunto de todas as realizações do processo.

• Se incluirmos impactos conhecidos na intensidade do tráfego, por exemplo, que há menos tráfego noturno, o processo não será estacionário novamente: a amplitude média² varia de acordo com o ritmo diário. Cada ponto no tempo é distinguido pela hora do dia.

• A posição de um único grão de pimenta em uma panela com água fervente é um processo estacionário (ignorando a perda de água devido à evaporação). Não há pontos distintos no tempo.

• A posição de um único grão de pimenta em uma panela com água fervente deixada no meio exato em não é um processo estacionário, pois é um momento distinto no tempo. A posição média do grão de pimenta está sempre no meio (assumindo um pote simétrico sem direções distintas), mas em (com pequeno), podemos ter certeza de que o grão de pimenta está em algum lugar próximo do meio para todas as realizações do processo , enquanto posteriormente, ele também pode estar mais perto da borda do pote.$t=0$$t=0$$t=ε$$ε$

  Portanto, a distribuição das posições muda com o tempo. Para dar um exemplo específico, o desvio padrão aumenta. A distribuição converge rapidamente para as respectivas distribuições do exemplo anterior e, se dermos uma olhada nesse processo para com um suficientemente alto , podemos negligenciar a não estacionariedade e aproximar a mesma como um processo estacionário para todos os fins - o impacto da condição inicial desapareceu.$t>T$$T$

^{¹ Para fins práticos, isso às vezes é reduzido à média e à variância (baixa estacionariedade), mas não considero útil entender o conceito. Apenas ignore a estacionariedade fraca até entender a estacionariedade.
² Qual é a média do volume, mas o desvio padrão do sinal sonoro real (não se preocupe muito com isso aqui).}

Para maior clareza, acrescentaria que qualquer série temporal em que os pontos de dados são normalmente distribuídos no tempo com uma média e variação constantes é considerada uma série temporal estacionária forte , pois, dada a média e o desvio padrão, a distribuição normal sempre terá a mesma curva de distribuição de probabilidade ( as entradas para a equação normal dependem apenas da média e do desvio padrão).

Este não é o caso de uma distribuição t, por exemplo, onde uma entrada para a equação da distribuição t é gama que afeta o formato da curva de distribuição, apesar de uma média constante e um desvio padrão constante.