Cálculos do ciclo do Eclipse necessários

Estou escrevendo uma obra de ficção sobre um mundo em que:

A duração de um ano é de 335 dias. O mundo tem duas luas. A lua A é maior e mais distante, com uma órbita lunar de 78 dias. A lua B é menor e mais próxima com uma órbita de 31 dias.

1. Quantas vezes as duas luas estavam cheias ao mesmo tempo, se sobrepondo como um alvo?
2. Com que freqüência ocorreriam eclipses lunares para a Lua A?
3. Com que freqüência ocorreriam eclipses lunares para a Lua b?
4. Quantas vezes os dois eclipsariam ao mesmo tempo?

Esta é uma obra de ficção, portanto, liberdades podem ser tomadas. Eu só quero que seja perto.

Francamente, quatro corpos não se alinham periodicamente, mesmo que as órbitas sejam planas, a menos que exista um multiplum comum. Como todos os seus períodos são inteiros , isso vale, mas esteja ciente de que seus alinhamentos duplos, como o eclipse solar duplo ou o eclipse lunar duplo, não são periódicos se um dos períodos não seguir exatamente esse sistema inteiro. (portanto, ele não se mantém por 31,01 dias, por exemplo. Como você lida com períodos de quazi é mencionado aqui ).

1. Quantas vezes as duas luas estavam cheias ao mesmo tempo, se sobrepondo como um alvo?

Geralmente não periódico, mas só pode acontecer no período sinódico das duas luas, ou seja:

.

$\frac{2418}{47}$ para as duas luas. No entanto, isso também deve acontecer quando os dois estão na mesma linha do Sol, ou seja, quando O período sinódico relativo entre uma das luas e o sol e o período sinódico das luas dividem o período solicitado. Para a lua interna e o sol, o período sinódico é . Como 47 não possui fatores em comum com 304, o primeiro multiplum comum aparece em.$\frac{10385}{304}$

$$\frac{10385}{304} \cdot \frac{2418}{47} = \frac{12555465}{7144}$$ ou 1757,484 dias. (@ Jonathan recebe 2418, porque seu modelo considera que o Sol permanece estático no céu, mas na verdade gira em torno de uma vez por ano.) O mesmo período exato também é válido para a sua pergunta 4 .

2. Com que freqüência ocorreriam eclipses lunares para a Lua A?

Aqui, a resposta é o período sinódico do Sol e da Lua, já declarado em , ou 34.161 dias. Isso é um pouco mais longo que o período orbital da Lua, porque o planeta se moveu um pouco em sua órbita, mudando ligeiramente a posição do Sol no céu.$\frac{10385}{304}$

3. Com que freqüência ocorreriam eclipses lunares para a Lua B?

Período sinódico aqui também, = 101,673 dias.$\frac{26130}{257}$

Aqui está minha tentativa, assumindo que as órbitas são circulares e no mesmo plano . Caso contrário, os cálculos se tornam mais complexos e essas variáveis ​​teriam que ser especificadas. O tamanho do planeta e o tamanho das luas também afetariam o cálculo (por exemplo, eles podem nunca eclipsar completamente se o planeta for relativamente pequeno / denso). Observe também que a Lua A pode eclipsar a Lua B e a Lua B podem eclipsar a Lua A, dependendo do tamanho. Não considero isso em meus cálculos (apenas considero o planeta eclipsando-os).

1. Com que frequência as duas luas estarão cheias ao mesmo tempo, se sobrepondo como um alvo?

Não incluindo a órbita dos planetas, 31 é um número primo e 78 se decompõe nos fatores de 2, 7, 7. Como não há denominador comum compartilhado, não parece que eles serão sincronizados com mais frequência do que 78 * 31 = 2418 dias

2. Com que frequência ocorreriam eclipses lunares para a Lua A?

Cerca de 78 dias (+ - cerca de 78/335 dias devido ao planeta orbitar o sol)

3. Com que freqüência ocorreriam eclipses lunares para a Lua b?

Cerca de 31 dias (+ - cerca de 31/335 dias devido ao planeta orbitar o sol)

4. Com que frequência os dois eclipsariam ao mesmo tempo?

Mesma resposta que o número 1, que eu calculo aos 2418 dias

Congratulo-me com o refinamento / correção dos meus cálculos, esta é uma "tentativa grosseira".

NOTA: Estou usando um quadro de referência "geocêntrico", em que as luas e o sol orbitam o planeta e estou criando um sistema arbitrário de coordenadas xy.

Observamos pela resposta de @ Hohmannfan que (respondendo suas perguntas fora de ordem por simplicidade):

• A Lua B eclipsará o sol a cada (~ 34,16) dias. Nesse período, o sol completa th de uma órbita e a Lua B completa órbitas, lambendo o sol uma vez.$\frac{10385}{304}$$\frac{31}{304}$$1\frac{31}{304}$

• A Lua A eclipsará o sol a cada (~ 101,67) dias. O sol completará de uma órbita, e a Lua A fará a volta completando órbitas.$\frac{26130}{257}$$\frac{78}{257}$$1\frac{78}{257}$

• A Lua B se sobreporá à Lua A uma vez a cada (~ 51,44) dias, nos quais a Lua A completará de uma órbita e a Lua B fará um lapso completando orbita.$\frac{2418}{47}$$\frac{31}{47}$$1\frac{31}{47}$

No entanto, como @Hohmannfan observa, não há garantia de que as luas estarão cheias quando se sobreporem.

Também não há garantia de que as duas luas vai sempre tanto eclipse do sol no momento exato o mesmo, embora eles vão ficar arbitrariamente perto de fazê-lo:

Nos dias entre duas sucessivas sobreposições lunares, o sol se move de uma órbita.$\frac{2418}{47}$$\frac{2418}{47} \times \frac{1}{335}$

Como acima, as luas avançaram de uma órbita.$\frac{31}{47}$

Assim, comparadas ao sol, as luas avançaram ou de uma órbita (esse número é surpreendentemente próximo de mas isso é apenas uma coincidência).$\frac{31}{47} - \frac{2418}{47} \times \frac{1}{335}$$\frac{7967}{15745}$$\frac{1}{2}$

Isso acontece entre todos os pares de sobreposições; portanto, a distância angular do sol (em órbita) das luas sobrepostas é que é a distância angular de uma sobreposição específica e é um número inteiro.$\frac{7967 n}{15745}+r$$r$$n$

Para que as luas sobrepostas eclipsem, o sol deve ser um número inteiro. Se é irracional, isso nunca pode acontecer.$\frac{7967 n}{15745}+r$$r$

No entanto, a distância angular pode ficar arbitrariamente pequena, mesmo a ponto de um observador não perceber que o eclipse da lua dupla não é 100% perfeito.

Por um argumento semelhante, você pode mostrar que as duas luas cheias ficarão arbitrariamente próximas da sobreposição.

AGORA , se fizermos a suposição simplificadora de que as duas luas estão eclipsando o sol no ano 0 (talvez seus padres-astrônomos tenham decidido que essa ocorrência incomum é um bom momento para começar a numerar os anos, e acreditamos que zero (não um) é um bom primeiro ano), podemos fazer alguns outros cálculos.

Como as luas se alinham a cada dias e o sol e a Lua B se alinham a cada dias, os três se alinham (para formar um eclipse do sol na lua dupla) no múltiplo menos comum desses números, ou 810.030 dias (o que seria exatamente 2418 dos seus anos e observe que 2418 é o produto das duas órbitas lunares em dias). Neste momento:$\frac{2418}{47}$$\frac{10385}{304}$

• A Lua A terá completado exatamente 10.385 órbitas.

• A Lua B terá completado exatamente 26.130 órbitas.

• Como acima, o sol terá completado exatamente 2.418 órbitas.

Acontece que nunca pode haver um alvo perfeito para lua cheia dupla:

• A Lua B estará cheia no dia (~ 17.08); nesse ponto, ela terá completado de uma órbita e o sol terá completado de uma órbita, então a Lua B terá meia órbita no sol, o que é necessário para uma lua cheia. Depois disso, a lua estará cheia a cada dias, o período de tempo que o sol leva para completar as órbitas e a Lua B para completar Órbitas .$\frac{10385}{608}$$\frac{335}{608}$$\frac{31}{608}$$\frac{10385}{304}$$\frac{31}{304}$$1\frac{31}{304}$

• Por um cálculo semelhante, a Lua A estará cheia no dia (~ 50,84) e a cada dias depois.$\frac{13065}{257}$$\frac{26130}{257}$

• Para descobrir quando os dois estão cheios ao mesmo tempo, resolvemos esta equação diofantina linear:

$\frac{10385 n}{304}+\frac{10385}{608}=\frac{26130 m}{257}+\frac{13065}{257}$

onde n e m são inteiros. Isso se reduz a:

$n\to \frac{47424 m+15745}{15934}$

Infelizmente, é sempre par; portanto, é sempre ímpar. Como o denominador ( ) é par, você está dividindo um número ímpar por um número par, e o resultado nunca pode ser um número inteiro.$47424 m$$47424 m+15745$$15934$

No entanto, isso não conta a história completa. Por exemplo, se calcularmos as posições no dia (~ 377156.55), encontraremos:$\frac{34987576465283}{92766720}$

• A lua B está a 122,5656 graus.

• A lua A está a 122,5581 graus, a apenas ~ 27 segundos de arco.

• O sol está a 302.5658 graus, 179.9998 graus da lua B e 179.9924 graus da lua A (~ 28 segundos de arco da oposição).

Em outras palavras, isso é bem parecido com uma lua cheia dupla, mesmo que não seja exato.

De maneira semelhante, embora os eclipses solares duplos ocorram apenas uma vez a cada 810.030 dias, existem várias interações:

$\begin{array}{cc} \text{Day} & \text{Sep (')} \\ -810030.00000 & 0.00 \\ -754313.10860 & 0.91 \\ -698596.21710 & 1.82 \\ -642879.32570 & 2.73 \\ -587162.43420 & 3.64 \\ -531445.54280 & 4.55 \\ -475728.65130 & 5.47 \\ -445735.13160 & 7.29 \\ -420011.75990 & 6.38 \\ -390018.24010 & 6.38 \\ -364294.86840 & 7.29 \\ -334301.34870 & 5.47 \\ -278584.45720 & 4.55 \\ -222867.56580 & 3.64 \\ -167150.67430 & 2.73 \\ -111433.78290 & 1.82 \\ -55716.89145 & 0.91 \\ 0.00000 & 0.00 \\ 55716.89145 & 0.91 \\ 111433.78290 & 1.82 \\ 167150.67430 & 2.73 \\ 222867.56580 & 3.64 \\ 278584.45720 & 4.55 \\ 334301.34870 & 5.47 \\ 364294.86840 & 7.29 \\ 390018.24010 & 6.38 \\ 420011.75990 & 6.38 \\ 445735.13160 & 7.29 \\ 475728.65130 & 5.47 \\ 531445.54280 & 4.55 \\ 587162.43420 & 3.64 \\ 642879.32570 & 2.73 \\ 698596.21710 & 1.82 \\ 754313.10860 & 0.91 \\ 810030.00000 & 0.00 \\ \end{array}$

A tabela acima lista todos os eclipses próximos a 7,5 minutos do arco, em que dia é o número de dias do ano 0 (incluindo dias antes do ano 0) e sep é a separação máxima (em minutos do arco) de quaisquer dois da Lua A , Lua B e o sol. Observe que os dias e são eclipses perfeitos, conforme o esperado.$0$$\pm 810030$

Da mesma forma, o mais próximo que chegamos ao dobro da lua cheia fica abaixo. Nesse caso, sep é (em minutos de arco) o máximo de:

• a distância angular da lua A da oposição

• a distância angular da lua B da oposição

• a distância angular entre a lua A e a lua B

$\begin{array}{cc} \text{Day} & \text{Sep (')} \\ -797168.29790 & 10.29 \\ -767174.80850 & 8.92 \\ -711457.91490 & 7.55 \\ -655741.02130 & 6.17 \\ -600024.12770 & 4.80 \\ -544307.23400 & 3.43 \\ -488590.34040 & 2.06 \\ -432873.44680 & 0.69 \\ -377156.55320 & 0.69 \\ -321439.65960 & 2.06 \\ -265722.76600 & 3.43 \\ -210005.87230 & 4.80 \\ -154288.97870 & 6.17 \\ -98572.08511 & 7.55 \\ -42855.19149 & 8.92 \\ -12861.70213 & 10.29 \\ 12861.70213 & 10.29 \\ 42855.19149 & 8.92 \\ 98572.08511 & 7.55 \\ 154288.97870 & 6.17 \\ 210005.87230 & 4.80 \\ 265722.76600 & 3.43 \\ 321439.65960 & 2.06 \\ 377156.55320 & 0.69 \\ 432873.44680 & 0.69 \\ 488590.34040 & 2.06 \\ 544307.23400 & 3.43 \\ 600024.12770 & 4.80 \\ 655741.02130 & 6.17 \\ 711457.91490 & 7.55 \\ 767174.80850 & 8.92 \\ 797168.29790 & 10.29 \\ \end{array}$

Outras notas:

• Mesmo que você tenha dito que isso era ficção, observe que é altamente improvável que o período orbital das luas seja um múltiplo exato do dia dos planetas. A única exceção a isso é se a (s) lua (s) estiverem travadas por maré; nesse caso, o período orbital será igual exatamente a um dia.

• Da mesma forma, é improvável que o período orbital do planeta seja um múltiplo exato de seu período de rotação (o nosso certamente não é).

Este é um problema interessante em geral e estou escrevendo https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/MATHEMATICA/bc-orrery.m para resolver um problema semelhante: https://physics.stackexchange.com / questions / 197481 /