Calcular a sombra na Terra de um grande disco orbital

Como calcular a sombra na Terra de um grande disco orbital (órbita baixa)?

amateur-observing Ion Corbu
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Para alguém que deseja explicar a matemática, fiz os cálculos aproximados para metade do problema: a umbra na superfície da Terra deve ter ~ 9,25 km de diâmetro, assumindo que a curvatura da Terra seja insignificante (que é uma suposição). realmente não deveria estar fazendo).

Cloudy7

Respostas:

Pode ser mais fácil usar triângulos semelhantes .

\frac{R d}{b} = \frac{R s}{uma}

$\frac{Rd}{b} = \frac{Rs}{a}$

$Rs$ é 696.000 km e $Rd$ é de 5 km. $a$ tem cerca de 150.000.000 km e c é 80 km.

O menor triângulo é usado a seguir:

\frac{r}{b - c} = \frac{R s}{uma}

$\frac{r}{b-c} = \frac{Rs}{a}$

Resolva para re você obtém

r = R d - R s \frac{c}{uma} = 4.63 km .

$r = Rd - Rs \frac{c}{a} = \text{4.63 km}.$

Dígitos extras não são úteis porque o diâmetro exato do Sol depende de como você o define e a distância do Sol à Terra varia quase +/- 2%.

$Rs/a$ é de cerca de 0,00464 e esse também é o meio ângulo do Sol em radianos. Converta-o em graus, multiplicando-o por 180 / pi e obtendo 0,266 graus, ou um quarto de grau. O diâmetro total do Sol é o dobro disso, ou cerca de meio grau.

uhoh
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Isso é óptica linear, o que deve ser bom. Seria interessante calcular o Ponto de Arago para vários

R_{d}

$R_d$ .

Carl Witthoft

Eu considerei isso, mas não generaliza tão bem. A primeira que divide é que c não vai ficar a 80 km para discos maiores. Também não funciona perto do Sol, mas para este caso específico, isso é realmente tudo o que você precisa.

SE - pare de disparar os mocinhos

A priori, você não pode saber que

a

$a$ é de cerca de 150 milhões de km - por exemplo, e se o disco tivesse o mesmo diâmetro que o Sol? Em vez de,

(R_{d} - r) : (R_{s} - R_{d}) = c : (a - b)

$(R_d-r) : (R_s-R_d) = c : (a-b)$ e

a - b

$a-b$ é a distância do Sol para o disco (de modo que é de aproximadamente 150 milhões de km)

Hagen von Eitzen

Muito obrigado pela sua resposta ... Sua informação foi muito útil para mim. Eles confirmaram minha hipótese. Você acha que uma órbita inferior a 80 km poderia ser usada para colocar esse disco? Qual poderia ser a órbita mais baixa, na sua opinião, a visão circular de baixa altitude, na qual esse disco poderia ser colocado?

Ion Corbu

Essa é uma pergunta diferente, mas as coisas a 80 km não permanecerão em órbita por muito tempo devido ao arrasto atmosférico. Se você quiser explorar isso, faça uma pergunta separada.

Uhoh

Brincando com um sistema de álgebra computacional, o problema realmente tem uma solução exata, mas é feio o suficiente para que uma aproximação numérica muito mais simples seja mais prática.

Primeiro, precisamos encontrar o ângulo do pico do cone da sombra.

O pico, o centro do Sol e o ponto tangente ao Sol formam um triângulo com um ângulo reto. Portanto, metade do ângulo do pico pode ser expresso como:

v = {pecado}^{- 1 1} (\frac{r_{s você n}}{r_{p e uma k}})

$v = \sin^{-1}\left(\frac{r_{sun}}{r_{peak}}\right)$

Nós não temos $r_{peak}$ , mas temos a distância do Sol à Terra, que é muito próxima. Isso pode nos dar uma primeira estimativa para o ângulo.

Para corrigir o ângulo, podemos calcular um novo $r_{peak}$ :

r_{p e uma k} = r_{e uma r t h - o r b Eu t} - r_{eu E O} + \frac{r_{d Eu s k}}{bronzeado (v)}

$r_{peak} = r_{earth-orbit} - r_{LEO} + \frac{r_{disk}}{\tan(v)}$

Usando o novo $r_{peak}$ calcular um novo $v$ deve convergir muito rapidamente para o novo ângulo.

eu recebo $v = 0.004651$

Agora, precisamos descobrir como esse cone de sombra se projeta na Terra.

Para calcular o raio do disco projetado, que tem seu centro um pouco abaixo da superfície, basta escalar o disco pela inclinação do cone e pela distância entre o disco, $d$ .

r_{você m b r uma} = r_{d Eu s k} - d bronzeado (v)

$r_{umbra} = r_{disk} - d\tan(v)$

Novamente, não temos exatamente $d$ , mas a altitude orbital está muito próxima. Mas podemos usar o $r_{umbra}$ estimamos que conseguimos obter uma melhor $d$ :

d = r_{eu E O} - \sqrt{r_{e uma r t h}^{2} - r_{você m b r uma}^{2}}

$d = r_{LEO} - \sqrt{r_{earth}^2 - r_{umbra}^2}$

E mais uma vez, os valores devem convergir muito rapidamente.

eu recebo $r_{umbra} = 4.628 km$

Para obter o raio na curva da Terra, você pode calcular o ângulo central e multiplicar com a circunferência da Terra, mas em 4 algarismos significativos, o resultado ainda é $4.628 km$

SE - pare de despedir os mocinhos
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Isso parece assumir que o Sun e o disco estão diretamente sobrecarregados. Quando isso não for verdade, o que ocorrerá na maioria das vezes, a sombra será mais parecida com uma elipse, mas, como a sombra estará mais distante do disco, a região da sombra completa poderá ser menor ou inexistente.

Steve Linton

De fato, assume que, como é o que o OP parece assumir em seu diagrama.

SE - pare de demitir os mocinhos

Ion Corbu

Manter esse disco em órbita seria duas soluções: 1. O disco tem uma velocidade orbital de cerca de 21.000 km / hora. Ou seja, ele gira em torno da Terra em cerca de 90 minutos. Solução possível, mas isso não me interessa.

Ion Corbu

2. Ter propulsores (termoquímicos, elétricos, eletromagnéticos, iônicos. Fotônicos) que seriam a força necessária para manter esse disco em órbita (80 km) acima de um ponto fixo. Para combater a força gravitacional. E para impedir que o disco entre em órbita e sua desintegração. O peso específico de disco tal poderia ser de cerca de 10 kg / m2

Ion Corbu

Vamos ver até onde chegamos sem uma calculadora (possivelmente apenas aproximadamente).

Aproximando o Sol como uma fonte pontual e infinitamente distante e o solo como plano, a sombra do disco é um disco afiado de diâmetro $10\,\text{km}$ . Mas o Sol não é uma fonte pontual. Do alto de nossa cabeça, podemos lembrar que o Sol (e a Lua) têm um diâmetro angular de cerca de meio grau. Convertido em radianos: $\frac12^\circ\cdot\frac\pi{180^\circ}\approx 0.009$ . Multiplique com o $80\,\text{km}$ altitude para chegar a $\approx 700\,\text{m}$ como a espessura do anel penumbra, que tem o limite original do disco no meio, ou seja, a sombra central é $\approx 10\,\text{km}-700\,\text{m}$ larga e a penumbra até a borda externa é $\approx 10\,\text{km}+700\,\text{m}$ Largo.

Hagen von Eitzen
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