Como mapear a textura quadrada para o triângulo?

Isto é conseguido através da interpolação baricêntrica .

Primeiro, encontramos as coordenadas baricêntricas de . As coordenadas barocêntricas representam quanto peso cada vértice contribui para o ponto e pode ser usado para interpolar qualquer valor que seja conhecido nos vértices na face de um triângulo. $P$

Considere os três triângulos internos , e . $ABP$ $PBC$ $PCA$

Podemos dizer que a coordenada barêntrica, ou o peso do vértice no ponto é proporcional à razão entre a área do triângulo interno e a área de todo o triângulo . $A$ $P$ $PBC$ $ABC$

Isso é intuitivamente evidente se considerarmos que, à medida que aproxima de o triângulo aumenta e os outros dois se tornam menores. $P$ $A$ $PBC$

Também intuitivamente evidente deve ser que a soma das coordenadas baricêntricas de um ponto dentro de um triângulo sempre seja igual a . Portanto, basta encontrar apenas duas das coordenadas para derivar a terceira. $1$

O método para calcular as coordenadas barricêntricas é:

\begin{aligned} {B uma r y}_{UMA} & = \frac{(B_{y} - C_{y}) (P_{x} - C_{x}) + (C_{x} - B_{x}) (P_{y} - C_{y})}{(B_{y} - C_{y}) ({UMA}_{x} - C_{x}) + (C_{x} - B_{x}) ({UMA}_{y} - C_{y})} \\ {B uma r y}_{B} & = \frac{(C_{y} - {UMA}_{y}) (P_{x} - C_{x}) + ({UMA}_{x} - C_{x}) (P_{y} - C_{y})}{(B_{y} - C_{y}) ({UMA}_{x} - C_{x}) + (C_{x} - B_{x}) ({UMA}_{y} - C_{y})} \\ {B uma r y}_{C} & = 1 - {B uma r y}_{UMA} - {B uma r y}_{B} \end{aligned}

$\begin{aligned} {Bary}_A &= \frac{(B_y-C_y)(P_x-C_x) + (C_x-B_x)(P_y-C_y)}{(B_y-C_y)(A_x-C_x) + (C_x-B_x)(A_y-C_y)}\\ {Bary}_B &= \frac{(C_y-A_y)(P_x-C_x) + (A_x-C_x)(P_y-C_y)}{(B_y-C_y)(A_x-C_x) + (C_x-B_x)(A_y-C_y)}\\ {Bary}_C &= 1 - {Bary}_A - {Bary}_B \end{aligned}$

A derivação e o raciocínio são explicados no artigo da Wikipedia .

Depois de ter coordenadas, é possível determinar as coordenadas de textura de interpolando os valores nos vértices usando as coordenadas bariêntricas como pesos: $P$

$P_{você v} = {B uma r y}_{UMA} \cdot {UMA}_{você v} + {B uma r y}_{B} \cdot B_{você v} + {B uma r y}_{C} \cdot C_{você v}$ $P_{uv} = {Bary}_A \cdot A_{uv} + {Bary}_B \cdot B_{uv} + {Bary}_C \cdot C_{uv}$

O raciocínio também é explicado muito bem nesta apresentação.

Veja também esta pergunta para métodos eficientes de computação.

Rotem
fonte

Eu permaneço um erro no ? O primeiro termo deve ser ou estou errado?

B a r y_{B}

$Bary_B$

(A_{y} - C_{y})

$(A_y-C_y)$

Joojaa

@joojaa Acho que não. É o mesmo no artigo da Wikipedia e parece correto a partir de um cálculo de teste que fiz.

Rotem

ah, então é , pode ser bom salientar, pois você pré-calcularia .

- (A_{y} - C_{y})

$-(A_y-C_y)$

A C_{y} = (A_{y} - C_{y})

$AC_y = (A_y-C_y)$

Joojaa

@joojaa Todo o denominador e alguns dos termos do numerador pode ser pré-calculada para cada triângulo, muito poucos dos termos dependem . Adicionei um link para uma pergunta que trata dos métodos de cálculo. Nesta fórmula, pensei que seria melhor manter a notação simples e uniforme, em vez de eficiente.

P

$P$

Rotem

Como mapear a textura quadrada para o triângulo?

Respostas:

Pvc v= B a r yUMA⋅ Avc v+ B a r yB⋅ Bvc v+ B a r yC⋅ Cvc vPvocêv=BumaryUMA⋅UMAvocêv+BumaryB⋅Bvocêv+BumaryC⋅CvocêvP_{uv} = {Bary}_A \cdot A_{uv} + {Bary}_B \cdot B_{uv} + {Bary}_C \cdot C_{uv}

$P_{você v} = {B uma r y}_{UMA} \cdot {UMA}_{você v} + {B uma r y}_{B} \cdot B_{você v} + {B uma r y}_{C} \cdot C_{você v}$ $P_{uv} = {Bary}_A \cdot A_{uv} + {Bary}_B \cdot B_{uv} + {Bary}_C \cdot C_{uv}$