Espaço de estado acessível de um quebra-cabeça 8

Acabei de começar a estudar Inteligência Artificial e estou me perguntando por que o espaço de estado acessível de um quebra-cabeça 8 é . Vejo que o número de permutações dos ladrilhos é 9 ! mas não é imediatamente óbvio por que metade dos estados possíveis do quebra-cabeça é inacessível em qualquer estado. Alguém pode elaborar?$9!/2$$9!$

Uma imagem de um quebra-cabeça 8 para referência com uma configuração aleatória à esquerda e o estado do objetivo à direita:

Esta é uma expansão desta apresentação .

$1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

$S$$T_i$$T_j$$i < j$$T_i$$T_j$$T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

$N_j$$T_i$$i < j$$T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

$T_{7}$$T_6$$N_7=1$$T_{10}$$T_7, T_8, T_9, T_6$$N_{10}=4$

$N$$N_i$$T_{\Box}$

$N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

$N$ $N$

Por exemplo:

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

$N \bmod 2$

$N \bmod = 0$$N \mod 2 = 1$

Por exemplo, os dois estados a seguir não estão conectados:

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5