Arredondamento de ponto flutuante

Um número de ponto flutuante IEEE-754 <1 (ou seja, gerado com um gerador de números aleatórios que gera um número> = 0,0 e <1,0) pode ser multiplicado por algum número inteiro (na forma de ponto flutuante) para obter um número igual ou maior que esse número inteiro devido ao arredondamento?

double r = random() ; // generates a floating point number in [0, 1)
double n = some_int ;
if (n * r >= n) {
    print 'Rounding Happened' ;
}

Isso pode ser equivalente a dizer que existe um N e R tal que, se R for o maior número menor que 1, que pode ser representado no IEEE-754, então N * R> = N (onde * e> = são apropriados IEEE- 754 operadores)

Isso vem desta pergunta com base nesta documentação e na função aleatória postgresql

numerical-analysis floating-point rounding Cade Roux
fonte

Você pode dizer algo sobre o intervalo de N, ou seja, é pequeno o suficiente para ser representado exatamente na precisão dupla IEEE-754?

Pedro

@Pedro Nesse caso em particular, sim, seria um número inteiro pequeno - ou seja, 10. Suponho que você esteja dizendo que se N é um número inteiro muito grande com um número muito grande de dígitos significativos, pode não ser possível representar exatamente?

Cade Roux

Precisamente, se

, então

podem ser maiores que

f l (N) > N

$fl(N) > N$

f l (R \times f l (N))

$fl(R\times fl(N))$

R N

$RN$

Pedro

Respostas:

Supondo que o arredondamento é o mais próximo e que , então sempre. (Cuidado para não converter um número inteiro muito grande.) $N > 0$ $N * R < N$

Seja , onde é o significando e é o expoente inteiro. Seja e derivar o limite $c 2^{-q} = N$ $c \in [1, 2)$ $q$ $1 - 2^{-s} = R$

N R = c 2^{- q} (1 - 2^{- s}) \leq c 2^{- q} - 2^{- q - s},

$N R = c 2^{-q}(1 - 2^{-s}) \le c 2^{-q} - 2^{-q - s},$

com igualdade se e somente se . O lado direito é menor que e, como é exatamente unidades no último lugar de , e é exatamente representável (uma vez que é normal e não o menor normal), ou , e o arredondamento mais próximo é baixo. Nos dois casos, é menor que $c = 1$ $N$ $2^{-q - s}$ $0.5$ $N$ $c = 1$ $2^{-q} - 2^{-q - s}$ $N$ $c > 1$ $N * R$ $N$ .

O arredondamento para cima pode causar um problema, mas nunca deve ser selecionado na presença de usuários inocentes. Aqui está uma C99 impressa "0\n1\n"na minha máquina.

#include <fenv.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
    double n = 10;
    double r = nextafter(1, 0);
    printf("%d\n", n == (n * r));
    fesetround(FE_UPWARD);
    printf("%d\n", n == (n * r));
}

Tyrone
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Me desculpe, eu sou um pouco lento estes dias - Estou tendo problemas para obter a parte da desigualdade

- c 2^{- q} 2^{- s} \leq - 2^{- q s}

$- c 2^{-q} 2^{-s} \le - 2^{-q s}$

Cade Roux

2^{- q - s}

$2^{-q - s}$

Obrigado, eu não tinha certeza se havia outro passo que estava faltando.

Cade Roux