Fácil de declarar problemas abertos na teoria da computabilidade

Eu estava procurando por problemas abertos interessantes e fáceis de declarar em computabilidade (compreensível por estudantes de graduação que fazem seu primeiro curso em computabilidade) para dar exemplos de problemas abertos (e obviamente eu quero que os alunos possam entender o problema sem precisar de muito novo definições e também seja interessante para elas).

Encontrei essa lista, mas os problemas nela parecem complicados demais para os estudantes de graduação e precisarão gastar um tempo considerável dando definições antes de declarar o problema. O único problema que encontrei até agora é

O problema diofantino sobre os números racionais é decidível?

Você conhece algum outro problema aberto interessante e fácil de declarar na teoria da computabilidade?

computability Kaveh
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Que quantidade / tipo de conhecimento prévio podemos assumir, por exemplo, em relação a autômatos, linguagens formais, algoritmos?

Raphael

@Raphael, você pode assumir o conhecimento da teoria básica da computabilidade, por exemplo, eles sabem o que é coberto na parte da computabilidade do livro de Sipser "Introdução à teoria da computação".

Kaveh

a teoria da computabilidade é definida de maneira mais abstrata do que, por exemplo, a teoria da complexidade, especialmente para os graduandos. nunca ouvi falar de turmas inteiras de graduação em teoria da computabilidade. o que você cobre? você tem um currículo online ou é semelhante a outro online? pode ser útil revisar a história do problema do décimo Hilberts, que permaneceu aberto durante a maior parte do século XX e é um dos "grandes" thms no campo. alguns dizem que, com justificativa real, é um dos mais importantes do século XX.

vzn

Respostas:

Uma famosa questão aberta sobre o poseto dos graus de Turing é se ele possui automorfismos não triviais. Ou seja, existe uma bijeção de não identidade modo que se e somente se ? $(D, \leq_T)$ $f\colon D \to D$ $a \leq_T b$ $f(a) \leq_T f(b)$

Carl Mummert
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Como esse problema é interessante para o estudante médio de graduação? Existe alguma conseqüência conhecida que possa ser derivada da existência desse automorfismo? Eu acho que a motivação é primordial na introdução de novos conceitos, especialmente se for apenas para mostrar aos alunos um "famoso problema aberto".

Janoma

@Janoma: a motivação é estudar (e entender) a estrutura global dos graus de Turing. Seria fácil declarar sem provas alguns resultados, como densidade, e mencionar isso como um problema aberto fácil de declarar, mas difícil de resolver.

Carl Mummert