Grau de Turing incomparável com qualquer salto ordinal-contável de outro grau de Turing?

Entre os graus de Turing estão os graus da forma $0^n$, por exemplo $0$, $0'$, $0''$etc.

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Vou provar isso rápido por uma questão de integridade. Espero que ninguém tenha dúvidas com esta breve prova:

Lema: Qualquer conjunto contável de conjuntos de números naturais pode ser codificado como um único conjunto de números naturais, de modo que cada conjunto original possa ser decodificado por uma máquina de Turing.

Prova: Seja nosso conjunto de conjuntos, para que cada seja um conjunto de números naturais. Defina .$S$$S_n \in S$$O = \{k \cdot 2^{n+1} - 2^n | k \in S_n \}$

Assim, . É evidente que, para cada existe uma máquina de Turing que calcula dado um Oracle para .$S_n = \{ k | k \cdot 2^{n+1} - 2^n \in O \}$$S_n$$S_n$$O$

Teorema Menor: Qualquer conjunto contável de graus de Turing tem um limite superior.

Prova: Seja nosso conjunto contável de graus. Assim, cada é um conjunto contável de conjuntos de números naturais. Seja um conjunto de números naturais que codifica os elementos de e seja um conjunto de números naturais que codifica todos os .$D$$D_n \in D$$E_n$$D_n$$E$$E_n$

Qualquer conjunto em qualquer grau pode ser calculado decodificando duas vezes sucessivamente, assim como graus de Turing, . Portanto representa um limite superior de .$D_n$$E$$D_n \leq [E]$$[E]$$D$

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Seja o limite superior de conforme descrito acima. Obviamente, podemos dar o salto de Turing de para obter que escreveremos e assim por diante para obter o conjunto contável de graus de Turing, . Tomando o limite superior destes, obtemos e, é claro, além disso, obtendo o limite superior de obtemos o grau de Turing . Geralmente, para qualquer ordinal contável , podemos definir um grau .$0^\omega$$\{0, 0', 0'', ... \}$$0^\omega$$(0^\omega)'$$0^{\omega + 1}$$0^{\omega + n}$$0^{2 \omega}$$\{ 0, 0^{\omega}, 0^{2 \omega}, ... \}$$0^{\omega^\omega}$$\beta$$0^\beta$

Sabe-se que para cada grau de Turing diferente de zero , existe um grau de Turing com o qual é incomparável. No entanto, para qualquer grau de Turing (e eu estou particularmente interessado em ), existe um grau de Turing que é incomparável com para todos os ordinais contáveis ?$a$$b$$a$$0'$$b$$a^\beta$$\beta$

A resposta para sua pergunta é retumbante: DEPENDE ! Isso nos leva a uma teoria dos conjuntos, que - embora interessante - talvez esteja um pouco fora dos padrões usuais de CS; Para resolver isso, fiz a primeira parte da minha resposta estritamente sobre a teoria da computabilidade e adicionei uma seção separada sobre o lado da teoria dos conjuntos.

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Antes que possamos responder à sua pergunta, verifica-se uma sutileza surpreendente aqui:

Para um ordinal contável arbitrário, nem sempre é claro como definir .$\alpha$$0^{(\alpha)}$

Isso é tratado de várias maneiras em mathoverflow e math.stackexchange; o que escrevi abaixo deve ser independente, no entanto.

A questão é a das apresentações (ou, essencialmente identicamente, seqüências fundamentais ). Em geral, suponha que seja um ordinal de limite, definimos para cada e queremos definir como o conjuntoNo entanto, este conjunto não é um conjunto de números naturais. Fixando um mapa , podemos "interpretar" ao longo de de uma maneira natural:Aqui está o problema: o que$\lambda$$0^{(\alpha)}$$\alpha<\lambda$$0^{(\lambda)}$

$$Z_\lambda=\{(i, \alpha):i\in\omega,\alpha<\lambda, i\in0^{(\alpha)}\}.$$ $f:\lambda\rightarrow\omega$$Z_\lambda$$f$ $$Z_\lambda^f=\{(i, j): i\in\omega, j\in ran(f), i\in 0^{(f^{-1}(j))}\}.$$ $f$ queremos usar? Escolhas diferentes de produzirão conjuntos diferentes e graus de Turing potencialmente diferentes. Isso não foi um problema para preparar , pois havia apenas uma coisa óbvia a ser feita, mas quando tentamos ir além, o problema vem à tona.$f$$0^{(\omega)}$

Como um resumo rápido, há uma abordagem alternativa aqui que parece promissora no início: basta definir para um ordinal de limite como o menor limite superior de ! Combinado com a cláusula , isso parece fornecer uma definição recursiva que funciona para todos os ordinais contáveis. No entanto, verifica-se que todo esse ataque é construído com base em uma suposição falsa: não é o limite superior mínimo de no Turing graus e, de fato, nunca existem limites mínimos triviais (este é o "teorema exato do par" de Spector). Então, nós necessariamente temos que fazer algum trabalho.$0^{(\lambda)}$$\lambda$$\{0^{(\alpha)}:\alpha<\lambda\}$$0^{(\beta+1)}=(0^{(\beta)})'$$0^{(\omega)}$$\{0^{(n)}:n<\omega\}$

Nesse ponto, é uma boa idéia voltar e tentar desenvolver uma teoria dos saltos iterados "do zero", por assim dizer. Essa é a teoria hiperaritmética devida a Kleene e é apresentada em detalhes no início do livro de Sacks; Vou apenas dar uma olhada rápida (e a-histórica).

Os conjuntos definidos acima são intuitivamente o que obtemos se iterarmos o salto não ao longo de um mero ordinal, mas ao longo de uma ordenação explícita de um conjunto de números naturais (ou seja, uma cópia do ordinal "rotulado" adequadamente ) Para tornar isso preciso, suponha que seja uma boa ordem de algum conjunto de números naturais (observe que determina ). É fácil mostrar que existe um conjunto exclusivo de pares ordenados de números naturais com as seguintes propriedades:$Z_\lambda^f$$R$$D$$R$$D$$J_R$

• $(x,y)\in J_R$ somente se .$x\in D$

• Se é o sucessor de , então se , em que .$u$$R$$v$$(u, y)\in J_R$$\Phi_y^{J_R[v]}$$J_R[v]=\{z: (v, z)\in J_R\}$

• Se é um limite , então$u$$R$$J_R[u]=\{(v, y): v<_Ru, y\in J_R[v]\}.$

É isso que você obtém, intuitivamente, se você repetir o salto ao longo de começando com o conjunto vazio (o fato de termos começado com o conjunto vazio foi construído secretamente até o último marcador, pois se é o elemento último, então é forçado a ficar vazio; podemos relativizar começando com uma coluna não vazia) .$R$$u$$R$$J_R[u]$

Se é "legal", isso é extremamente bem-comportado:$R$

Suponha que sejam pedidos dos conjuntos de números naturais, de modo que cada seja computável, suas respectivas operações sucessoras sejam computáveis ​​e seus respectivos conjuntos de elementos limite sejam computáveis. Então, se e têm o mesmo OrderType temos .$R_0, R_1$$D_0, D_1$$R_i$$R_0$$R_1$$J_{R_0}\equiv_TJ_{R_1}$

As condições acima são mais fortes do que apenas exigir que as ordenações sejam computáveis, mas, na verdade, toda ordenação computacional é (não computável!) Isomórfica para uma ordenação computacional tão "agradável". Portanto, com base nisso, faz sentido definir para um "ordinal computável" como o único grau de Turing de uma "sequência de salto" ao longo de uma "boa apresentação" de . De maneira mais geral, para qualquer grau de Turing , faz sentido falar sobre o grau para qualquer ordinal com uma apresentação computável.$0^{(\alpha)}$$\alpha$$\alpha$$d$$d^{(\alpha)}$$\alpha$$d$

Os conjuntos computáveis ​​de para alguns computáveis são os conjuntos hiperaritméticos ; A hiperaritmeticidade tem várias caracterizações equivalentes e é uma das noções fundamentais da teoria moderna da computabilidade e também é muito importante na teoria descritiva dos conjuntos. Mas isso só nos leva a numerosos ordinais; os ordinais mais contáveis ​​não têm apresentações computáveis! O supremo dos ordinais computáveis ​​é denotado " " - é muito maior que outros ordinais populares como , etc. etc., mas ainda é contável e , de fato, bastante pequeno entre os ordinais contáveis ​​de várias perspectivas dentro da lógica$0^{(\alpha)}$$\alpha$$\omega_1^{CK}$$\epsilon_0$$\Gamma_0$. E não é muito difícil preparar dois graus de Turing, nenhum dos quais é hiperaritmético em relação ao outro, já que chegamos apenas a "alta contagem". Podemos fazer melhor?

Para ir mais longe, precisamos entrar na teoria dos conjuntos, então vou colocar uma linha horizontal aqui:

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Tudo bem, vamos falar sobre teoria dos conjuntos. Acontece que nós pode continuar a saltar de uma maneira passado naturais . No entanto, isso fica complicado rapidamente. A ideia vem do universo construtivo de Godel , sendo que cada passo adicional na hierarquia é como dar - muitos saltos do que você tem até agora (já que você está vendo tudo de primeira ordem definível no que tem) tão longe). Provocar isso com precisão nos dá a noção de códigos-mestre . Não vou defini-los precisamente aqui, mas Hodes tem um excelente artigo sobre o assunto .$\omega_1^{CK}$$L$$\omega$

Agora, os códigos-mestre têm muitos recursos sutis e irritantes, mas permitem iterar sem problemas (ish) o salto que começa com o conjunto vazio até , o primeiro ordinal que o universo construtível considera incontável. (De uma maneira mais geral, dado um grau , podemos "fazer códigos-mestre" sem problemas até , o primeiro pedido que o menor modelo interno de ZFC contendo acha incontável.)$^*$$\omega_1^L$$d$$\omega_1^{L[d]}$$d$

Se o universo construtível é tudo o que existe - ou seja, se V = L -, então somos peachy:

Cada real em é computável de algum - no sentido de mastercodes - para alguns .$L$$0^{(\alpha)}$$\alpha<\omega_1^L$

De um modo mais geral, "alcançável por códigos-mestre" nos dá a noção de construtibilidade relativa : iff iff está em todo modelo interno que contém iff é computável a partir de algum para .$x\le_Ly$$x\in L[y]$$x$$y$$x$$y^{(\alpha)}$$\alpha<\omega_1^{L[y]}$

No entanto, é bem possível - isto é, consistente em relação ao ZFC - que está muito longe de . Por exemplo, pode ser contável e, de fato, o "real" pode parecer bastante grande da perspectiva de ! De fato, verifica-se que fortes hipóteses da teoria dos conjuntos podem impedir-nos de ir muito longe com essa idéia:$V$$L$$\omega_1^L$$\omega_1$$L$

De um modo geral, se existem cardeais grandes , não há sequências crescentes facilmente definidas dos graus de Turing. (Isso é parametrizado: aumente os cardeais grandes e teremos uma indefinibilidade cada vez mais necessária.)$\omega_1$

Mesmo assumindo e descartando qualquer coisa (como cardeais grandes) que aumentará a força da consistência, os ainda podem ser bastante selvagens, via forçamento . Em particular, se são mutuamente genéricos de Cohen (digamos) sobre , então e ; podemos obter genéricos Cohen sem alterar , portanto, neste caso, nenhum dos dois é acessível através de muitos saltos, assumindo que compramos a "imagem mastercode" (e, se não o fizermos, precisamos criar outra foto!) .$\omega_1^L=\omega_1$ $\le_L$$c_0, c_1$$L$$c_0\not\in L[c_1]$$c_1\not\in L[c_0]$$\omega_1$

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$^*$ Eles realmente só fazem sentido no nível de graus , não conjuntos de naturais , portanto, nesse sentido, a "questão da apresentação" não foi evitada; veja o meio da página 207 do artigo de Hodes. Mais desagradável, o Teorema 8 (e veja a parte inferior da página 204 para a definição relevante) mostra que ... OK, não há uma maneira agradável de dizer isso, e eu não posso mais adiar : mastercode-jumps não são totalmente monótono . Podemos ter mas em algum grau . Aaargh.$\alpha<\beta$$a^{(\beta)}=0^{(\alpha)}$$a$