Em variedades e redes tridimensionais

EDIT (Por Tara B): Eu ainda estaria interessado em uma referência a uma prova disso, pois eu mesmo tinha que provar isso para o meu próprio artigo.

Estou procurando a prova do Teorema 4 que aparece neste artigo:

Uma hierarquia infinita de interseções de idiomas sem contexto por Liu e Weiner.

Teorema 4: Uma variedade afim dimensional não é expressável como uma união finita de variedades afins, cada uma das quais tem dimensão ou menos.$n$$n-1$

1. Alguém sabe uma referência à prova?
2. Se o coletor é finito e definimos uma ordem natural nos elementos, existe alguma afirmação semelhante em termos de redes?

Alguns antecedentes para entender o teorema:

Definição: Seja o conjunto de números racionais. Um subconjunto é uma variedade afim se quando , e .$\mathbb{Q}$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$$x\in M$$y\in M$$\lambda\in\mathbb{Q}$

Definição: Diz-se que uma variedade afim é paralela a uma variedade afim se para alguns .$M'$$M$$M'=M+a$$a\in \mathbb{Q}^n$

Teorema: Cada não-vazia afim colector é paralelo a um único subespaço . Esse é dado por$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$K$$K$$K=\{x-y:x,y\in M\}$

Definição: A dimensão de um coletor afim não vazio é a dimensão do subespaço paralelo a ele.

Intuitivamente, o teorema diz que uma linha não é uma união finita de pontos, um plano não é uma união finita de linhas, etc. A prova mais simples é observar, por exemplo, que uma união finita de linhas tem uma área zero, enquanto uma avião não.

Mais concretamente, observe que é suficiente provar a reivindicação de variedades em passando para seus fechamentos. Considere uma variedade afim dada pelo conjunto de soluções para o sistema linear ; seu fechamento será precisamente o conjunto de soluções para o mesmo sistema acima de ; portanto, esta etapa não afeta a dimensão dos coletores envolvidos. Além disso, o fechamento de uma união finita é igual à união dos fechamentos.$\mathbb{R}^n$$M\subseteq \mathbb{Q}^n$$A x = b$$\mathbb{R}^n$

Agora observe que a medida de Lebesgue dimensional de uma variedade de dimensões é nula. Portanto, a medida de Lebesgue dimensional de uma união finita de tais manifolds ainda é zero. Mas a medida dimensional de uma variedade dimensional é infinita, portanto, diferente de zero.$d$$\le d - 1$$d$$d$$d$

Quanto à sua segunda pergunta, não sei bem o que você quer dizer. Mas se o campo de base de é finito, então qualquer -dimensional afins múltiplas sobre contém pontos. Portanto, por um argumento de contagem semelhante, você precisa de pelo menosespaços afins da dimensão para cobrir um espaço afim da dimensão .$\mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}^n$$|\mathbb{F}|^d$$|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$$\le d - 1$$d$

Aqui está uma prova sem medida que funciona para variedades afins sobre um campo infinito arbitrário (o resultado é falso para campos finitos).$\mathbb F$

Por indução em , mostraremos que uma variedade afim da dimensão não é uma união finita de variedades afins de dimensão menor que .A ⊆ F m n $n\ge0$$A\subseteq\mathbb F^m$$n$$n$

A afirmação é clara para : um ponto não é uma união (finita) de conjuntos vazios.$n=0$

Suponha que a instrução seja válida para , mostraremos para . Seja , onde e . Considere uma subvariedade afim arbitrária da dimensão . Como , a hipótese de indução implica que para alguns , ou seja, . Uma vez que existem apenas conjuntos e é arbitrário, segue-se que possui apenas finitamente muitas subvariedades de dimensão$n$$n+1$$A=\bigcup_{i<k}A_i$$\dim(A)=n+1$$\dim(A_i)\le n$$B\subset A$$n$$B=\bigcup_i(B\cap A_i)$$\dim(B\cap A_i)=n$$i<k$$B=A_i$$k$$A_i$$B$n B 0 v A B 0 A B 0 + a v a ∈ $A$$n$. No entanto, esta é uma contradição: se corrigir qualquer subvariedade e um vetor paralelo com , mas não para , existem infinitos Subvariedades afim de da forma , onde .$B_0$$v$$A$$B_0$$A$$B_0+av$$a\in\mathbb F$