Em variedades e redes tridimensionais

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EDIT (Por Tara B): Eu ainda estaria interessado em uma referência a uma prova disso, pois eu mesmo tinha que provar isso para o meu próprio artigo.

Estou procurando a prova do Teorema 4 que aparece neste artigo:

Uma hierarquia infinita de interseções de idiomas sem contexto por Liu e Weiner.

Teorema 4: Uma variedade afim dimensional não é expressável como uma união finita de variedades afins, cada uma das quais tem dimensão ou menos.nn1

  1. Alguém sabe uma referência à prova?
  2. Se o coletor é finito e definimos uma ordem natural nos elementos, existe alguma afirmação semelhante em termos de redes?

Alguns antecedentes para entender o teorema:

Definição: Seja o conjunto de números racionais. Um subconjunto é uma variedade afim se quando , e .QMQn(λx+(1λ)y)MxMyMλQ

Definição: Diz-se que uma variedade afim é paralela a uma variedade afim se para alguns .MMM=M+aaQn

Teorema: Cada não-vazia afim colector é paralelo a um único subespaço . Esse é dado porMQnKKK={xy:x,yM}

Definição: A dimensão de um coletor afim não vazio é a dimensão do subespaço paralelo a ele.


Marcos Villagra
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Sei que essa é uma pergunta bastante antiga, mas eu a encontrei hoje e só queria perguntar se você estava lendo esse jornal por algum motivo em particular. (Acontece a ser muito estreitamente relacionadas com algumas das minhas pesquisas.)
Tara B

Respostas:

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Intuitivamente, o teorema diz que uma linha não é uma união finita de pontos, um plano não é uma união finita de linhas, etc. A prova mais simples é observar, por exemplo, que uma união finita de linhas tem uma área zero, enquanto uma avião não.

Mais concretamente, observe que é suficiente provar a reivindicação de variedades em passando para seus fechamentos. Considere uma variedade afim dada pelo conjunto de soluções para o sistema linear ; seu fechamento será precisamente o conjunto de soluções para o mesmo sistema acima de ; portanto, esta etapa não afeta a dimensão dos coletores envolvidos. Além disso, o fechamento de uma união finita é igual à união dos fechamentos.RnMQnAx=bRn

Agora observe que a medida de Lebesgue dimensional de uma variedade de dimensões é nula. Portanto, a medida de Lebesgue dimensional de uma união finita de tais manifolds ainda é zero. Mas a medida dimensional de uma variedade dimensional é infinita, portanto, diferente de zero.dd1ddd

Quanto à sua segunda pergunta, não sei bem o que você quer dizer. Mas se o campo de base de é finito, então qualquer -dimensional afins múltiplas sobre contém pontos. Portanto, por um argumento de contagem semelhante, você precisa de pelo menosespaços afins da dimensão para cobrir um espaço afim da dimensão .FdFn|F|d|F|d/|F|d1=|F|d1d

david
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obrigado!! isso responde às duas perguntas. O que eu (muito pouco claro) quis dizer na segunda pergunta foi "o que aconteceria se, em vez de uma variedade afim, tivéssemos um conjunto convexo finito". Mas ainda assim, sua resposta esclareceu minhas dúvidas.
Marcos Villagra
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Aqui está uma prova sem medida que funciona para variedades afins sobre um campo infinito arbitrário (o resultado é falso para campos finitos).F

Por indução em , mostraremos que uma variedade afim da dimensão não é uma união finita de variedades afins de dimensão menor que .A F m n nn0AFmnn

A afirmação é clara para : um ponto não é uma união (finita) de conjuntos vazios.n=0

Suponha que a instrução seja válida para , mostraremos para . Seja , onde e . Considere uma subvariedade afim arbitrária da dimensão . Como , a hipótese de indução implica que para alguns , ou seja, . Uma vez que existem apenas conjuntos e é arbitrário, segue-se que possui apenas finitamente muitas subvariedades de dimensãonn+1A=i<kAidim(A)=n+1dim(Ai)nBAnB=i(BAi)dim(BAi)=ni<kB=AikAiBn B 0 v A B 0 A B 0 + a v a FAn. No entanto, esta é uma contradição: se corrigir qualquer subvariedade e um vetor paralelo com , mas não para , existem infinitos Subvariedades afim de da forma , onde .B0vAB0AB0+avaF

Emil Jeřábek 3.0
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boa prova alternativa!
Marcos Villagra
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Não, esta é a prova eo outro é alternativa porque arrasta na teoria da medida :-)
Andrej Bauer
Ahhh entendo, bom ponto
Marcos Villagra