Computação Quântica - Postulados de QM

Acabei de começar (independente) a aprender sobre computação quântica em geral a partir do livro de Nielsen-Chuang.

Eu queria perguntar se alguém poderia tentar encontrar tempo para me ajudar com o que está acontecendo com o postulado de medição da mecânica quântica. Quero dizer, não estou tentando questionar o postulado; é só que eu não entendo como o valor do estado do sistema após a medição sai para .$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$

Mesmo que seja exatamente o que o postulado parece dizer, acho realmente estranho porque é essa expressão. Não sei se o que peço aqui faz sentido, mas isso está provando ser algo que, por algum motivo, parece me impedir de continuar lendo,

Não sei se isso é uma "explicação", mas espero que seja uma "descrição" útil.

Mais geralmente do que as medições projetivas, sempre se mede um operador . (Um projetor é um caso especial disso.) Então, o que significa "medir um operador"?

Bem, os operadores geralmente correspondem a quantidades físicas 'observáveis'. O mais importante na mecânica quântica, por exemplo, é a energia; mas também é possível (às vezes indiretamente) medir outras quantidades, como momento angular, componentes z de campos magnéticos etc. O que está sendo medido sempre produz resultados com valor real --- em princípio, algum resultado definido (por exemplo, um elétron é no estado 'spin +1/2' em oposição a 'spin -1/2' ou no primeiro nível de energia excitado em oposição ao estado fundamental em um átomo de hidrogênio, etc.), embora cada resultado possível a priori é realizado com alguma probabilidade.

Atribuímos cada um dos resultados com valor real de uma medida a um subespaço. A maneira como fazemos isso é descrever um operador hermitiano - ou seja, um operador que associa um valor próprio real a diferentes subespaços, com os subespaços somando todo o espaço de Hilbert. Um projetor é um operador desse tipo, onde os valores reais são 0 e 1; isto é, descrever que um vetor pertence a um subespaço designado (com valor 1) ou seu complemento ortodoxo (com valor 0). Esses operadores hermitianos são observáveis , e os espaços próprios são aqueles para os quais o observável tem um valor "definido".

Mas e os vetores que não são autovetores e não têm valores "definidos" para esses observáveis? Aqui está a parte não explicativa da descrição: nós os projetamos em um dos espaços próprios, para obter um vetor próprio com um valor bem definido. A projeção que aplicamos é determinada aleatoriamente. A distribuição de probabilidade é dada pela regra conhecida de Born:

$$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$$

onde é o projetor no espaço c de uma quantidade observável E (representado por um operador hermitiano ). O estado medido post é alguma projeção do estado em alguns eigenspace do observável A . E então se é o estado de pré-medição, é o estado pós-medição e é o 'resultado real' medido ( ou seja, o espaço próprio no qual o estado de pré-medição foi realmente projetado), temos o resultado da proporcionalidade A = Σ $\Pi_c$| ip ⟩ | ψ 0 ⟩ | ψ 1 ⟩ ¸ $A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$$|\psi\rangle$$| \psi_0 \rangle$$| \psi_1 \rangle$$\Pi_c$

$$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$$

pela regra de projeção descrita. É por isso que o projetor está na sua fórmula.

Em geral, o vetor não é um vetor de unidade; porque desejamos descrever o estado pós-medição por outro vetor unitário, devemos redimensioná-lo$| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

$$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$$

que é a raiz quadrada da probabilidade com a qual o resultado ocorreria a priori . E assim, recuperamos a fórmula na sua pergunta,

$$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$$

(Se essa fórmula parecer um pouco desajeitada, tenha em mente que ela parece e se sente um pouco melhor se você representar estados quânticos por operadores de densidade.)

Editado para adicionar: o acima não deve ser interpretado como uma descrição dos POVMs. Um "operador positivo medição valorizado" é melhor visto como descrevendo o valor esperado de vários mensurável observáveis E _c numa colecção {  E _c  } _{c  ∈ C}  .

Oferecerei mais uma resposta à pergunta de Akash Kumar, que é que (especialmente para os alunos) uma boa abordagem para lidar com os mistérios da mecânica quântica é primeiro lidar com os mistérios da mecânica clássica.

A esse respeito, um manual de iniciação recomendado (disponível em brochura) é "Symmetry in Mechanics: a Gentle Modern Introduction", de Stephanie Frank Singer ... ... que tem a vantagem de ser breve e claro (incluindo 120 problemas trabalhados explicitamente), e ainda assim abraça com confiança as principais idéias modernas da geometria simplética e da teoria dos grupos de Lie.

Aqui o argumento é que, no início do século XX, a mecânica quântica e a mecânica clássica pareciam duas teorias dinâmicas muito diferentes. Mas se levarmos a sério a máxima de Vladimir Arnold de que "a mecânica hamiltoniana é geometria no espaço de fase; o espaço de fase tem a estrutura de uma variedade simplética", e levamos a sério também a máxima de Ashtekar / Schilling de que "a estrutura linear que está na vanguarda em os tratamentos manuais da mecânica quântica são, basicamente, apenas uma conveniência técnica e os ingredientes essenciais - a variedade de estados, a estrutura simplética e a métrica riemanniana - não compartilham essa linearidade ", então chegamos a uma melhor a apreciação de que a tese de Troy Schilling de 1996 se apóia em uma sólida base matemática em afirmar que "

Essa abordagem geométrica unificada da dinâmica clássica / quântica é bem-sucedida principalmente ao fazer a mecânica clássica parecer mais misteriosa e a mecânica quântica parecer menos misteriosa ... e é bom que os alunos saibam que essa é uma (de muitas) abordagens viáveis ​​para aprender os dois tipos de mecânica.

Se você ainda não os viu, recomendo as notas da aula de Scott Aaronson "Quantum Computing Since Demócrito" , especialmente a palestra 9 . Eles realmente me ajudaram como não especialista e tentei destilar sua apresentação aos pontos principais aqui e aqui .

No que diz respeito à sua consulta específica, acho que ajuda a criar intuição se você puder calcular alguns exemplos simples usando a Regra de Nascimento e ver como o Postulado de Medição funciona na prática.

Achei mais fácil pensar em "A probabilidade de medir o i-ésimo resultado é o quadrado da amplitude do i-ésimo elemento do vetor de estado - se você fizer uma mudança de base nos autovetores do operador".

Isso também está intimamente ligado à intuição de que a mecânica quântica é uma probabilidade com números complexos - já que os quadrados das amplitudes devem somar 1.

Enquanto você estiver estudando computação quântica, talvez também queira conferir esta discussão sobre o algoritmo de Shor .

Termo aditivo.

Depois de repensar a forma da sua pergunta ( por exemplo, o M ^† M no denominador - em oposição a um único operador M, o suficiente para os projetores) e reconsiderar minha cópia de Nielsen e Chaung, aqui estão alguns detalhes adicionais não coberto pela minha resposta anterior. (Estou postando isso como uma resposta separada devido ao tamanho e porque sinto que isso é ainda menos uma 'explicação' do que minha resposta anterior.)

Suponha-se que o nosso único meio de medição uma qbit X é indirecta: por uma interacção 'fraca' com um ancila A , seguida por uma medição em um . Nós gostaríamos de ser capaz de falar sobre estes como sendo de certa forma uma forma de medir X . Como podemos descrever essa medida apenas em termos de X ? Bem: suponha que possamos preparar facilmente A no estado inicial e executar uma controlada do seguinte tipo, com X como controle e A como destino:$|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

$$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$$

Em seguida, medimos A na base padrão (para que A agora armazene o resultado da medição). Isso transforma o estado de X da seguinte maneira:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

Nas equações acima, observe que se o resultado da medida for c , o estado final de X é proporcional a , onde definimos$|\psi_1\rangle$$|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

$$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$$

e podemos verificar se as probabilidades com as quais obtemos os resultados da medição estão em cada caso .$\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

Isso está muito próximo de descrever a transformação de X da mesma maneira que descrevemos medições projetivas. Mas isso é algum tipo de medida, falando de maneira significativa? Bem: se pudermos fazer estatísticas sobre os resultados de várias iterações desse procedimento, e se X estiver inicialmente na base padrão, perceberemos que existe um viés quando obtemos o resultado '0': obtemos com mais frequência quando X estiver inicialmente no estado . Se pudermos amostrar tempos suficientes para distinguir se os resultados da medição são distribuídos de forma mais semelhante ou , podemos determinar com alta probabilidade se o qubit está inicialmente no estado$|1\rangle$$(\frac12,\frac12)$$(\frac34,\frac14)$$|0\rangle$ ou o estado .$|1\rangle$

A semelhança das fórmulas de probabilidade e atualização com as medidas projetivas e o fato de podermos usar estatísticas de medidas para obter informações sobre o estado medido motivam uma generalização da noção de 'medição' para incluir procedimentos como o acima: podemos descrever possíveis resultados de medição por um, dois ou mais operadores (que são de fato 'operadores Kraus', objetos associados a mapas de CPTP), com resultados descritos por uma regra de Born ligeiramente generalizada$M_c$

$$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$$

onde é um operador Kraus associado à sua medição e com uma regra de atualização fornecida por$M_c$

$$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$$

A fim de que as probabilidades de ser conservado (de modo que, com certeza , pelo menos, um dos resultados de medição ocorre), que requerem . Essa é a forma mais geral da sua pergunta, descrita por Nielsen e Chaung. (Novamente, isso parece um pouco melhor ao descrever estados por operadores de densidade.)$\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

Observações gerais.

Em geral, sempre que introduzimos uma ancilla (ou coleção de ancillas) A , interagimos um qubit (ou registramos vários qubits) X de forma unitária com A e depois executamos uma medição projetiva em A , isso gera uma espécie de medida de X ; os operadores de medição podem ser descritos por alguma coleção de operadores semidefinidos positivos modo que (novamente para que a probabilidade seja conservada).∑ c M † c M $M_c$$\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

As medidas mais gerais e fracas descritas aqui estão mais estreitamente relacionadas aos POVMs, que permitem descrever facilmente as probabilidades de medição 'abstratamente', sem uma escolha explícita das transformações , fornecendo aos operadores e permitindo o uso estes na regra Born para calcular probabilidades. Como eu mencionei acima e em minha resposta anterior, os POVMs podem ser considerados como descrevendo informações estatisticamente disponíveis sobre um sistema.E c = M † c M $M_c$$E_c = M_c^\dagger M_c$

Pensar em medições em termos de operadores Kraus (e em termos de um 'registro de resultados de medições' A como acima) dessa maneira permite incluir a noção de medições na de um mapa de CPTP, que é uma ideia que eu gosto. (No entanto, isso realmente não muda as coisas do ponto de vista analítico e não é algo com que você deva se preocupar se ainda não estiver confortável com os mapas de CPTP).

A resposta de Niel de Beaudrap em relação aos operadores da Kraus foi muito boa. No que diz respeito ao livro-texto Nielsen e Chuang, isso significa que se deve ler o capítulo 2, depois o capítulo 8 e, em seguida, os capítulos intermediários.

Além disso, a representação do operador Kraus tem um limite infinitesimal chamado operador Lindbladiano; de um modo geral, os operadores Lindbladianos são para os operadores Kraus o que é uma álgebra de Lie para um grupo de Lie. As notas on-line de Carlton Caves "Mapas completamente positivos, mapas positivos e a forma Lindblad" cobrem grande parte desse material.

A vantagem de trabalhar exclusivamente com operadores Lindbladianos infinitesimais em vez de operadores Kraus é que os Lindbladianos recuam naturalmente para espaços de estados quânticos não-Hilbert; incluem os espaços de estado da rede de tensores que estão se tornando onipresentes na química quântica e na física da matéria condensada; além disso, as técnicas de retração também são onipresentes na teoria das cordas.

Atualmente, não existe um livro que desenvolva essa descrição geométrica, não Hilbert, da dinâmica quântica ... mas deveria haver! Os livros didáticos que (com as referências acima) cobrem as idéias principais de John Lee "Distribuidores suaves", Frenkel e Smit "Entendendo a simulação molecular: dos algoritmos às aplicações" e Kloeden e Platen "Solução numérica de equações diferenciais estocásticas".

É verdade que isso é muita leitura ... e é por isso que a dinâmica quântica geométrica não é ensinada no nível de graduação. É uma pena, porque é muito fácil para os graduandos adquirirem a noção fixa de que o espaço de estados dos sistemas dinâmicos quânticos é um espaço vetorial linear, mesmo que isso não seja verdade na maioria dos cálculos práticos em larga escala.

Quanto ao espaço de estados que a Natureza usa: ninguém sabe - a evidência experimental da linearidade quântica local (espaço tangente) é bastante forte, mas a evidência da linearidade quântica global (espaço Hilbert) é bastante fraca. Em particular, experimentos dinâmicos quânticos de feixe molecular de alta precisão - que muitos livros didáticos apresentam como evidência de linearidade quântica - podem ser simulados com a precisão relativa necessária de ~ 1/2 ^ {65} em espaços de estado de redes tensoras de baixa dimensão, com simplicidade dinâmica quase perfeita substituindo linearidade dinâmica quase perfeita.

Pelas razões acima, talvez os estudantes do século XXI não devam aceitar os livros didáticos do século XX inteiramente pelo seu valor nominal. Mas, realmente, que estudante do século 21 gostaria de outra maneira?

A descrição acima é como os engenheiros de sistemas quânticos adotaram um conjunto de ferramentas matemáticas que mesclam a naturalidade geométrica e algébrica e se aplicam geralmente a sistemas dinâmicos clássicos, quânticos e híbridos.

---

Além disso, como um teste da viabilidade de uma abordagem geométrica da simulação quântica prática, nosso Grupo de Engenharia de Sistemas Quânticos (QSE) complementou o livro clássico de Charlie Slichter, Princípios de Ressonância Magnética, com uma versão aprimorada do Capítulo 3 " Ampliação Dipolar Magnética e Transporte de Polarização em Malhas Rígidas ".

Essa transcrição geométrica aponta naturalmente para várias questões em aberto na dinâmica geométrica; veja, por exemplo, a pergunta MathOverflow " Em simulações de dinâmica quântica, qual é o análogo simétrico (Riemanniano) de um colchete de Poisson? "

Primeiro de tudo, por que os observáveis ​​são representados pelos operadores? Na mecânica clássica, um observável é uma função com valor real no espaço de fase. Extrai informações sobre valores como a energia ou o momento do sistema, mas não afeta ou interfere nele. Se o observador fizer parte do sistema, a medição é um processo físico e pode mudar a evolução do sistema. Para que a evolução do tempo finita e não infinitesimal seja unitária (ou seja, preserve a probabilidade total), a evolução do tempo infinitesimal deve ser hermitiana. Este é o teorema de Stone; explica por que os operadores da mecânica quântica são hermitianos.

Se isso faz sentido, a fórmula segue de duas coisas:$M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

• | ip ⟩ M | ip ⟩ ⟨ ip | ⟨ ip | M $M$ descreve a evolução no tempo infinitesimal do processo de medição para o observável. O sucessor de é e, por dualidade, o sucessor de é .$\mid\psi\rangle$$M\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid$$\langle\psi\mid M^\dagger$
• A norma é a probabilidade total do estado. Combinado com o ponto anterior, isso mostra que a probabilidade total do sucessor é . A divisão pela raiz quadrada normaliza o estado.⟨ ip | M † M | ip $\langle\psi\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

Bem, vou fornecer algumas referências adicionais relevantes à pergunta de Akash Kumar sobre os postulados quânticos, com o objetivo de incentivar os alunos a aprender a matemática de que precisam para apreciar as muitas estruturas bem desenvolvidas para o estudo da dinâmica clássica e quântica.

Vamos começar de onde o texto de Nielsen-Chuang termina, a saber, com "Teorema: Liberdade unitária na representação da soma do operador" (Seção 8.2 de Nielsen-Chuang). O texto de Nielsen e Chuang observa que uma aplicação prática desse teorema surgiu na teoria da correção de erro quântico, onde foi "crucial para uma boa compreensão da correção de erro quântico". Mas então o texto de Nielsen-Chuang fica em silêncio.

As respostas dadas (até agora) aqui no Stack Exchange não ajudam muito a entender essa "liberdade unitária" ... que, como se vê, é central para todos os aspectos da mecânica quântica associados ao que Einstein e Bohr chamaram de "spukhafte Fernwirkungen" (ação assustadora à distância) da mecânica quântica. Em particular, essa liberdade unitária é essencial para a leitura quântica, a correção quântica de erros e a criptografia quântica - três das principais razões pelas quais os estudantes do TCS estudam a dinâmica quântica.

Para saber mais, o que o aluno deve ler? Existem muitas opções (e outras podem ter suas próprias preferências), mas vou recomendar "Métodos estatísticos em óptica quântica: campos não clássicos", de Howard Carmichael, em particular o Capítulo 17-19, intitulado "Trajetórias quânticas I- III ".

Nestes três capítulos, o texto de Carmichael motiva fisicamente o que o texto de Nielsen-Chuang codifica como postulados e teoremas formais, a saber, nossa liberdade de "desvendar" as medições projetivas (medições não projetivas também) de várias maneiras. Fisicamente, essa liberdade garante que vivamos em um universo causalmente separável; matematicamente, essa liberdade é a base de toda criptografia quântica e correção de erros.

AFACIT, foi o próprio Carmichael que, em 1993, inventou o termo agora padrão "desvendar" para descrever essa invariância informática. Desde então, a literatura desvendada cresceu imensamente: uma pesquisa de texto inteiro no servidor arxiv por "quantum" e "desvendar" encontra 762 manuscritos; a ortografia variante "desvendar" encontra 612 mais manuscritos (possivelmente com algumas duplicatas).

Obviamente, aprender o conjunto de ferramentas matemáticas e as idéias físicas associadas ao desdobramento quântico é muito trabalhoso. É razoável perguntar, que benefício (s) os alunos podem razoavelmente esperar, para retribuir esse trabalho árduo? Em resposta, aqui está uma parábola de um parágrafo, cuja principal virtude é que é imensamente mais curta do que ler dois textos quânticos muito longos e difíceis (Nielsen-Chuang e Carmichael).

Era uma vez, uma estudante de geometria euclidiana chamada Alice se perguntou "Como a medição do comprimento euclidiano realmente funciona?" Os postulados euclidianos responderam à pergunta de Alice da seguinte forma: "Todas as medidas de comprimento físico são equivalentes às medidas de uma bússola, cujo modelo matemático é um segmento da linha numérica". No entanto, por um imenso esforço de imaginação criativa, Alice concebeu uma resposta equivalente ainda mais geral: "Todas as medidas de comprimento físico são equivalentes a integrações de velocidades ao longo de trajetórias, cujo modelo matemático é curvas em variedades equipadas com formas simpléticas e métricas e potenciais dinâmicos. . " A estrutura não-euclidiana de Alice para a dinâmica clássica era muito trabalho para aprender, mas ela se abriu para seus novos mundos de ciência, tecnologia,

Para tornar explícita a questão da parábola, Alice adotou uma descrição diferencial da dinâmica clássica e, assim, libertou-se das rígidas restrições do espaço euclidiano. Da mesma forma, os estudantes quânticos de hoje têm a opção de adotar uma descrição diferencial da dinâmica do desenrolar e, assim, liberar-se das restrições rígidas do espaço de Hilbert.

Como na dinâmica clássica não-euclidiana, a dinâmica quântica não-Hilbert é muito trabalho a ser aprendida - atualmente não há um livro único que cubra todo o material necessário - e ainda esses novos não-euclidianos / não-Hilbert estruturas dinâmicas estão abrindo vastos mundos novos para exploração. Essas explorações se estendem dos mistérios da teoria das cordas aos difíceis desafios de escrever códigos de simulação quântica validados e eficientes na química e na ciência dos materiais. É claro que a pesquisa em qualquer uma dessas áreas já exige dos estudantes uma apreciação mais profunda do que Euclides da dinâmica clássica e uma apreciação mais profunda que Hilbert da dinâmica quântica.

É por isso que os desafios matemáticos e as oportunidades de pesquisa associadas às dinâmicas clássica e quântica nunca foram maiores do que atualmente. Qual é bom!