Na computação quântica, estamos frequentemente interessados nos casos em que o grupo de operadores unitários especiais, G, para algum sistema d-dimensional fornece ao grupo todo SU (d) exatamente ou mesmo apenas uma aproximação fornecida por uma cobertura densa de SU (d).
Um grupo de ordem finita, como o grupo Clifford para um sistema d-dimensional C (d), não dará uma cobertura densa. Um grupo de ordem infinita não dará uma cobertura densa se o grupo for abeliano. No entanto, minha intuição grosseira é que um número infinito de operações de mudança de portões e bases do grupo Clifford deve ser suficiente para fornecer uma cobertura densa.
Formalmente, minha pergunta é:
Eu tenho um grupo G que é um subgrupo de SU (d). G tem ordem infinita e C (d) é um subgrupo de G. Todos esses G fornecem uma cobertura densa de SU (d).
Observe que estou particularmente interessado no caso quando d> 2.
Considero o grupo Clifford como definido aqui: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802007
Respostas:
Esta não é uma resposta completa, mas talvez ajude a responder à pergunta.
Como tem ordem infinita, mas C ( d ) não é, G contém necessariamente uma porta de grupo que não seja de Clifford. No entanto, G tem C ( d ) como um subgrupo. Mas para d = 2, o grupo Clifford mais qualquer outro portão que não esteja no grupo Clifford é aproximadamente universal (veja, por exemplo, o Teorema 1 aqui ). Portanto, todos esses G fornecem uma cobertura densa em S U ( 2 n ) .G C(d) G G C(d) d=2 G SU(2n)
No caso em que , parece possível provar que você ainda possui uma cobertura densa ao longo das seguintes linhas (usando a notação do artigo vinculado na pergunta):d>2
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I believe the answer to original question is probably yes, but unfortunately, I can't say that definitively. I can help answer Peter's extended question, however.
In math/0001038, by Nebe, Rains, and Sloane, they show that the Clifford group is a maximal finite subgroup of U(2^n). Solovay has also shown this in unpublished work that "uses essentially the classification of finite simple groups." The Nebe et al. paper also shows that the qudit Clifford group is a maximal finite subgroup for prime p, also using the classification of finite groups. This means that the Clifford group plus any gate is an infinite group, which makes one of the assumptions of the original question redundant.
Now, both Rains and Solovay told me that the next step, showing that an infinite group containing the Clifford group is universal, is relatively straightforward. However, I don't know how that step actually works. And more importantly for the original question, I don't know if they were only considering the qubit case or also the qudit case.
Actually, I might add that I don't understand the Nebe, Rains, and Sloane proof either, but would like to.
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It's not clear to me whether you're asking about SU(3) or SU(3n ) acting on a tensor product of qudits. I'll assume you're asking about SU(3). It's not clear to me (despite what I said in a previous version of my answer) that the statement for SU(3) implies the statement for SU(3n ).
As long as the set of gates doesn't lie in a subgroup of SU(3), it will generate a dense cover of SU(3). So you need to check whether any of the infinite subgroups of SU(3) contains the Clifford group. I am fairly sure they don't, but I can't say for sure. Here is a math overflow question giving all the Lie subgroups of SU(3).
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I thought I should update this thread before the site is frozen forever.
Daniel's answer is on the right lines. This "next step" that he mentions appears in Nebe, Rains and Sloane's later book, "Self-Dual Codes and Invariant Theory".
The answer to this question is therefore "Yes" - and it follows directly from Corollary 6.8.2 in Nebe, Rains and Sloane's book.
I am grateful to Vadym Kliuchnikov who pointed this out to me while I was visiting Waterloo.
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I think the following paper may contain the relevant constructions for proving qudit universality
http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/39/11/010
In particular, the comment at the end of section4 says that Controlled-phase CZ , Fourier transform F , and a diagonal gate D with irrational and incommensurate phases gives approximate universality. (This is a sufficient condition on D but I'm pretty sure it is not a necessary condition.)
If yourG is of the correct form (and diagonal gates would seem a natural choice) then the result applies
An alternative approach would be to create the ancilla states required for implementation of the qudit Toffoli, or directly usingG along with Cliffords to implement the Toffoli. It's hard to say whether this is possible without knowing more about G .
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