Objetivo : resolver a conjectura de que não há plano projetivo de ordem 12.
Em 1989, usando a pesquisa por computador em um Cray, Lam provou que não existe um plano projetivo da ordem 10. Agora que o número de Deus para o cubo de Rubik foi determinado após apenas algumas semanas de pesquisa maciça de força bruta (além de matemática inteligente de simetria), parece-me que esse problema aberto de longa data possa estar ao nosso alcance. (Além disso, talvez possamos usar essas técnicas para resolver algo matematicamente fundamental.) Espero que essa pergunta possa servir como uma verificação de sanidade.
O Cubo foi resolvido reduzindo o tamanho total do problema para "apenas" 2.217.093.120 testes distintos, que poderiam ser executados em paralelo.
Questões:
Houve vários casos especiais de inexistência mostrados. Alguém sabe, se os removermos e procurarmos exaustivamente o restante, se o tamanho do problema estiver na ordem da pesquisa do Cubo? (Talvez muito a esperar que alguém saiba disso ....)
Alguma informação parcial nesse sentido?
Editado para adicionar: fiz esta pergunta no MathOverflow aqui . Até agora, parece que nenhuma redução no espaço de pesquisa é alcançada a partir dos resultados parciais conhecidos. Ainda não sei o tamanho do espaço total de pesquisa.
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Respostas:
(Mais um comentário do que resposta :)
Existem planos projetivos finitos para valores de n que são potências de um primo, e há infinitos valores de n que são descartados por um teorema de RH Bruck e H. Ryser, que foi generalizado por Chowla para bloquear projetos.
http://en.wikipedia.org/wiki/Bruck%E2%80%93Chowla%E2%80%93Ryser_theorem
n = 10, como foi afirmado, foi resolvido (não existe plano) por uma pesquisa por computador, de modo que o primeiro valor de n não descartado por Bruck-Ryser é n = 12. No entanto, o trabalho com computadores não pareceu dar novas idéias, pois se existem ou não apenas os aviões de força principal. O que parece ser necessário são novos métodos matemáticos para entender as conjecturas comumente feitas de que apenas os planos de potência principal existem.
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Existe uma conjectura dizendo que, se sigma (n)> 2n, não existe um plano projetivo finito (FPP) de ordem n, nem um conjunto completo de quadrados latinos mutuamente ortogonais (CMOLS) que correspondem a ele. Onde sigma (n) denota a soma dos divisores positivos de n, incluindo o próprio n. De fato, quando sigma (n)> 2n significa que n é um número abundante. e 12 é o menor número abundante existente. A seguir, são apresentados todos os números abundantes para 1> n> 500: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 176, 180, 186, 190, 196, 198, 200, 204, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, 272, 276, 280, 282, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 318, 320, 324, 330, 336, 340, 342, 348, 350, 352, 354, 360, 364,
de On Projective Planes of Order 12, de Muatazz Abdolhadi Bashir e Andrew Rajah
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