A norma de rastreamento da diferença entre duas matrizes de densidade sendo uma implica que essas duas matrizes de densidade podem ser diagonalizáveis ​​simultaneamente?

Eu acredito que a resposta a esta pergunta é bem conhecida; mas infelizmente não sei.

Na computação quântica, sabemos que estados mistos são representados por matrizes de densidade. E a norma de rastreamento da diferença de duas matrizes de densidade caracteriza a capacidade de distinguir os dois estados mistos correspondentes. Aqui, a definição de norma de rastreamento é a soma de todos os autovalores da matriz de densidade, com um fator multiplicativo extra 1/2 (de acordo com a diferença estatística de duas distribuições). É sabido que, quando a diferença de duas matrizes de densidade é uma, então os dois estados mistos correspondentes são totalmente distinguíveis, enquanto que quando a diferença é zero, os dois estados misturados são totalmente indistinguíveis.

Minha pergunta é: a norma de rastreamento da diferença de duas matrizes de densidade sendo uma implica que essas duas matrizes de densidade podem ser simultaneamente diagonalizáveis? Se esse for o caso, tomar a medida ideal para distinguir esses dois estados mistos se comportará como distinguir duas distribuições no mesmo domínio com suporte separado .

Aqui está uma maneira de provar o seu interesse.

$\rho_0$$\rho_1$$\rho_0-\rho_1$

$$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$$ $P_0$$P_1$$\rho_0-\rho_1$$P_0$$P_1$

$\rho_0-\rho_1$

$$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$$ $P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

Para tirar essa conclusão, observe primeiro que e , então . Em seguida, considere e como projeções ortogonais nas imagens de e , respectivamente. Temos portanto, Ambos e$\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$$\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$$\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$$\Pi_0$$\Pi_1$$P_0$$P_1$

$$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$$ $$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$$ $\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$deve estar contido no intervalo [0,1], do qual concluímos que e . A partir dessas equações, não é difícil concluir e e, portanto, pela equação acima. Um argumento semelhante mostra .$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$$\Pi_0\rho_0=\rho_0$$\Pi_0\rho_1=0$$P_0=\rho_0$$P_1=\rho_1$

Sim. Se a distância do traço de duas matrizes de densidade for igual a 1, elas terão suportes ortogonais e, portanto, são simultaneamente diagonalizáveis.