Qualquer número natural pode ser considerado como uma sequência de bits; portanto, inserir um número natural é o mesmo que inserir uma sequência 0-1; portanto, problemas NP-completos com entradas naturais obviamente existem. Mas existem problemas naturais, ou seja, aqueles que não usam codificação e interpretação especial dos dígitos? Por exemplo "Não é primo?" é um problema tão natural, mas este está em P. Ou "Quem vence o jogo Nim com montes de tamanho 3, 5, n, n?" é outro problema que considero natural, mas também sabemos que isso é em P. Também estou interessado em outras classes de complexidade em vez de NP.
Atualização: Como apontado por Emil Jeřábek, dado para determinar se tem uma solução sobre os naturais é NP-completo. Isso é exatamente o que eu tinha em mente como natural, exceto que aqui a entrada é de três números em vez de apenas um.
Atualização 2: e depois de mais de quatro anos de espera, Dan Brumleve deu uma solução "melhor" - observe que ela ainda não está concluída devido à redução aleatória.
Respostas:
Esse problema tem uma variação com uma única entrada inteira:
A idéia é usar a mesma redução aleatória da soma do subconjunto descrita na resposta superior à pergunta vinculada, mas com o intervalo de destino codificado como os dois maiores números primos em vez de dados separadamente. A definição tem uma aparência natural, mesmo que seja apenas uma função de emparelhamento disfarçada.
Aqui está outra variação do mesmo problema, com uma redução semelhante do problema de partição:
Em ambas as reduções, estamos "camuflando" um conjunto de números inteiros localizando números primos próximos e obtendo seu produto. Se for possível fazer isso em tempo polinomial, esses problemas serão NP-completos.
Eu acho que é esclarecedor olhar para esses exemplos, juntamente com o teorema de Mahaney : se e podemos encontrar números primos próximos, esses conjuntos não são escassos. É gratificante obter uma afirmação puramente aritmética da teoria da complexidade (mesmo que seja apenas conjetural e provavelmente provável de outra maneira).P≠NP
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Com base na discussão, vou repassar isso como resposta.
Como provado por Manders e Adleman , o seguinte problema é NP-completo: dados os números naturais , determinam se existe um número natural x ≤ c tal que x 2 ≡ aa,b,c x≤c .x2≡a(modb)
O problema pode ser equivalentemente indicou o seguinte: dada , determinar se o quadrática x 2 + b y - c = 0 tem uma solução x , y ∈ N .b , c ∈ N x2+ b y- c = 0 x , y∈ N
(O artigo original declara o problema com , mas não é difícil ver que é possível reduzi-lo ao caso a = 1. )a x2+ b y- c a = 1
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Aqui está um problema completo da com um único número natural como entrada.NEXP
O problema é de cerca de ladrilhos um grade com um conjunto fixo de telhas e restrições em telhas adjacentes e azulejos na fronteira. Tudo isso faz parte da especificação do problema; não faz parte da entrada. A entrada é apenas o número n . O problema é NEXP - completo para algumas opções de regras de mosaico, conforme mostrado emn×n n NEXP
O problema está definido na página 5 da versão do arxiv.
Além disso, eles também definem um problema semelhante que é complete, que é o análogo quântico de erro limitado do NEXP . (O analógico clássico de erro limitado do NEXP é MA EXP .)QMAEXP NEXP NEXP MAEXP
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Eu acho que usando uma das variantes de complexidade de Kolmogorov, com limite de tempo, você pode criar um problema que usa apenas a representação binária de um número e (eu acho) é improvável que esteja em ; informalmente, é uma versão decidível do problema "Is n compressible?":P n
Problema: Dado , existe uma máquina de Turing M de modo que | M | < L e M em saídas de uma fita em branco n em menos do que l 2 passos, onde l = ⌈ log n ⌉ é o comprimento da representação binária de nn M |M|<l M n l2 l=⌈logn⌉ n
É claramente em , porque dado n e M , apenas simular M para L 2 etapas e se ele pára comparar o resultado com o n .NP n M M l2 n
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Nosso artigo do FOCS'17 sobre Aritmética de Presburger Curto é um exemplo de um problema "natural" que é o NP-c e usa um número constanteC de números inteiros na entrada, digamos C<220 . É diferente de Manders-Adleman, pois as restrições são todas desigualdades. Veja o post de Gil Kalai no blog para obter mais informações.
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E o problema da PARTIÇÃO ?
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