Em um Categoria cartesiana Closed ( CCC ), existem os chamados objetos exponenciais , escritos . Quando um CCC é considerado como um modelo da simplesmente-digitada λ -calculus , um objecto exponencial como B Uma caracteriza o espaço função do tipo A de tipo B . Um objecto exponencial é introduzido por uma seta chamado c u r r y : ( A x B → C ) → ( A → C B E eliminado por uma seta chamado um p p l y : C B × B → C (o que infelizmente chamado e v um L na maioria dos textos em teoria categoria). Minhas perguntas aqui são: existe alguma diferença entre o objeto exponencial C B e a seta B → C ?
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Respostas:
Um é interno e o outro é externo .
Uma categoria consiste em objetos e morfismos. Quando escrevemos f : A → B , queremos dizer que f é um morfismo de objeto A para objeto B . Podemos coletar todos os morfismos de A a B em um conjunto de morfismos H o m C ( A , B ) , chamado de "hom-set". Este conjunto não é um objeto de C , mas um objeto da categoria de conjuntos.C f:A→B f A B A B HomC(A,B) C
Em contraste, um exponencial é um objecto em C . É como " C pensa em seus hom-sets". Assim, B A deve estar equipado com qualquer estrutura que os objetos de C tenham.BUMA C C BUMA C
Como exemplo, vamos considerar a categoria de espaços topológicos. Em seguida, é um mapa contínua de X para Y , e H o m o t o p ( X , Y ) é o conjunto de todas essas aplicações contínuas. Mas Y X , se existir, é um espaço topológico! Você pode provar que os pontos de Y X são (em correspondência bijective com) as aplicações contínuas de X para Y . De fato, isso é válido em geral: os morfismos 1 → B Af: X→ Y X Y H o mPara o p( X, Y) YX YX X Y 1 → BUMA (que são "os pontos globais de ") estão em correspondência bijective com morphisms Um → B , porque
H o m ( 1 , B A ) ≅ H o m ( 1 × A , B ) ≅ H o m ( A , B ) .BUMA A → B
Às vezes a gente ficar desleixado sobre a escrita em oposição a A → B . De fato, muitas vezes esses dois são sinônimos, com o entendimento de que f : A → B pode significar "oh, a propósito, aqui eu quis dizer a outra notação, então isso significa que f é um morfismo de A a B ". Por exemplo, quando você anotou o curry do morfismo de curry : ( A × B → C ) → ( A → C B ), você realmente deveria ter escrito curry :BUMA A → B f: A → B f UMA B
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