Qual é a diferença entre setas e objetos exponenciais em uma categoria fechada cartesiana?

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Em um Categoria cartesiana Closed ( CCC ), existem os chamados objetos exponenciais , escritos . Quando um CCC é considerado como um modelo da simplesmente-digitada λ -calculus , um objecto exponencial como B Uma caracteriza o espaço função do tipo A de tipo B . Um objecto exponencial é introduzido por uma seta chamado c u r r y : ( A x B C ) ( A C BBAλBAAB E eliminado por uma seta chamado um p p l y : C B × B C (o que infelizmente chamado e v um L na maioria dos textos em teoria categoria). Minhas perguntas aqui são: existe alguma diferença entre o objeto exponencial C B e a seta B C ?curry:(A×BC)(ACB)apply:CB×BCevalCBBC

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Em uma categoria , é o objeto exponencial , mas na teoria dos tipos pode ser chamado de tipo exponencial .
Andrej Bauer
Esta não é uma questão de nível de pesquisa. Mover para cs-exchange?
Andrea Asperti 15/03/19

Respostas:

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Um é interno e o outro é externo .

Uma categoria consiste em objetos e morfismos. Quando escrevemos f : A B , queremos dizer que f é um morfismo de objeto A para objeto B . Podemos coletar todos os morfismos de A a B em um conjunto de morfismos H o m C ( A , B ) , chamado de "hom-set". Este conjunto não é um objeto de C , mas um objeto da categoria de conjuntos.Cf:ABfABAB HomC(A,B)C

Em contraste, um exponencial é um objecto em C . É como " C pensa em seus hom-sets". Assim, B A deve estar equipado com qualquer estrutura que os objetos de C tenham.BACCBAC

Como exemplo, vamos considerar a categoria de espaços topológicos. Em seguida, é um mapa contínua de X para Y , e H o m o t o p ( X , Y ) é o conjunto de todas essas aplicações contínuas. Mas Y X , se existir, é um espaço topológico! Você pode provar que os pontos de Y X são (em correspondência bijective com) as aplicações contínuas de X para Y . De fato, isso é válido em geral: os morfismos 1 B Af:XYXYHomTop(X,Y)YXYXXY1BA(que são "os pontos globais de ") estão em correspondência bijective com morphisms Um B , porque H o m ( 1 , B A ) H o m ( 1 × A , B ) H o m ( A , B ) .BAAB

Hom(1,BA)Hom(1×A,B)Hom(A,B).

Às vezes a gente ficar desleixado sobre a escrita em oposição a A B . De fato, muitas vezes esses dois são sinônimos, com o entendimento de que f : A B pode significar "oh, a propósito, aqui eu quis dizer a outra notação, então isso significa que f é um morfismo de A a B ". Por exemplo, quando você anotou o curry do morfismo de curry : ( A × B C ) ( A C B ), você realmente deveria ter escrito curry :BAABf:ABfAB

curry:(A×BC)(ACB)
Portanto, não podemos culpar ninguém por ficar confuso aqui. O interno é usado no sentido interno e o externo no externo.
curry:CA×B(CB)A.

λtBt:BBB

curry:(A×BC)(ACB)
λ
curry:((CB)A)CA×B.
BAAB
Andrej Bauer
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Obrigado pela ótima resposta, dissipando completamente o mistério.
day
De fato! Ótima explicação!
precisa saber é o seguinte
Então, o que é interno e o que é externo?
CMCDragonkai