A abordagem de “determinação discreta de Borel” da Gowers

Deixe-me fazer um resumo do meu entendimento da motivação para a abordagem. Esteja avisado de que sou bastante novo no conceito de determinação de Borel e não sou especialista em teoria dos conjuntos. Todos os erros são meus. Também não tenho certeza de que ler isso seja muito melhor do que ler as postagens de Gowers.

Penso que o que Gowers tem em mente não é um análogo financeiro do teorema da determinação de Borel, mas um análogo financeiro do seguinte: a determinação de Borel segue o ZFC, enquanto a determinação de jogos analíticos requer a existência de cardeais (essencialmente) mensuráveis. Descreverei brevemente de quais jogos estamos falando e qual é a determinação de Borel, e depois relacionarei isso com a abordagem para provar limites mais baixos. A idéia de alto nível é considerar que a propriedade "permite que um análogo financeiro de uma prova da determinação de Borel funcione" como uma propriedade que pode separar P \ poly de NP.

Pensamos em jogos em que dois jogadores I e II se revezam "jogando" um número inteiro. O jogo continua para sempre, então eles produzem uma sequência . O jogo é definido por um conjunto vencedor (isto é, um conjunto de seqüências). Se , o jogador I vence, caso contrário, o jogador II vence. $x= x_1, x_2, \ldots$ $A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$ $x \in A$

Um jogo é determinado se o jogador I ou o jogador II têm uma estratégia vencedora: uma maneira de decidir uma próxima jogada com base na jogada até agora que garanta uma vitória. A determinação de todos os jogos tem conexões íntimas com os fundamentos da teoria dos conjuntos (eles não são, se você acredita no axioma da escolha). De qualquer forma, um exemplo simples de quando os jogos são determinados é quando é aberto na topologia do produto em , que é uma maneira elegante de dizer que a associação pode ser decidido com base apenas em um número finito de elementos de . Por exemplo, o jogo em que o jogador I vence se for o primeiro a jogar um número par está aberto. Outro exemplo simples de jogos determinados são os jogos fechados, ou seja, jogos em que $A$ $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ $x \in A$ $x$ $x \not \in A$ pode ser decidido com base em uma subsequência finita de . Jogos fechados são jogos abertos com os papéis de jogadores invertidos. $x$

Agora podemos chegar à determinação de Borel, e logo depois tentarei vincular isso com circuitos e complexidade. Um conjunto Borel é um conjunto que pode ser derivado de conjuntos abertos e fechados aplicando repetidamente um número contável de uniões e interseções. Você deve pensar em conjuntos abertos e fechados como seus conjuntos básicos, e os conjuntos Borel como derivados de conjuntos básicos, usando vários níveis de um número "pequeno" (= contável) de operações simples em cada nível. Acontece que você pode provar no ZFC que os conjuntos Borel são determinados, e há um sentido preciso de que isso é o melhor que você pode fazer.

A analogia que eu acho que Gowers está desenhando aqui é que os conjuntos de Borel são como pequenos circuitos. No mundo finito, substituímos o "universo" pelo hipercubo . Nossos conjuntos básicos se tornam facetas do cubo: para ; estes são equivalentes aos literais e . Você pode escrever AND e OR de literais como uniões e interseções de tais conjuntos. Portanto, para funções booleanas , ser capaz de produzir partir de uniões e interseções de conjuntos básicos é equivalente a ter um tamanho $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ $\{0,1\}^n$ $\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$ $b \in \{0,1\}$ $x_i$ $\bar{x}_i$ $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ $f^{-1}(1)$ $s$ $s$ circuito para . $f$

Deixe-me dizer uma palavra sobre conjuntos analíticos. Um conjunto analítico é uma projeção de um conjunto Borel: se é um conjunto Borel, então é analítico. Pela nossa correspondência entre os conjuntos de Borel e as funções de complexidade de pequenos circuitos, os conjuntos analíticos são como NP / poli. $S \subseteq X \times Y$ $T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

Agora ele se inspira em uma prova da determinação de Borel de criar uma propriedade (no sentido Razborov-Rudich) para distinguir funções de complexidade de pequenos circuitos de funções de complexidade de grandes circuitos. A esperança, é claro, é que a propriedade evite a barreira das provas naturais.

A prova de Martin da determinação de Borel usa uma abordagem conceitualmente muito elegante: Martin mostra que todo jogo Borel é a imagem de um jogo aberto (de fato clopen) sob um mapa , de modo que $\pi$ $\pi$ preserva as estratégias vencedoras - vamos chamar isso de "elevação". Então, o que Martin mostra é que cada jogo Borel é a imagem de um jogo em que o conjunto vencedor é um conjunto básico. Como jogos abertos são facilmente vistos como determinantes, isso prova a determinação de Borel. A prova é indutiva, com o caso base mostrando que jogos fechados podem ser levantados. A parte importante é que cada passo da indução "explode" o universo: livrar-se de um nível da construção do conjunto Borel requer elevar um jogo a um jogo sobre um universo que é essencialmente o conjunto de potência do universo do jogo original . Curiosamente, isso é inevitável: os conjuntos Borel que exigem mais níveis para definir só podem ser elevados para jogos em universos muito maiores. Os conjuntos analíticos requerem universos tão grandes que sua existência requer grandes axiomas cardinais.

Inspirando-se nisso, Gowers formula um jogo no qual o jogador I e o jogador II devem especificar em conjunto algum ; o jogador I vence se , caso contrário, o jogador II vence. Jogador I pode especificar a primeira metade das coordenadas e jogador II a segunda metade. A intuição agora é que jogos correspondentes a simples , ou seja, com pequena complexidade de circuito, devem permitir uma subida no estilo Martin para um universo relativamente pequeno, assim como os jogos de Borel. Por outro lado, aleatório deve exigir universos de tamanho exponencial duplo e, esperançosamente, NP-hard também, porque eles corresponderiam a jogos analíticos. $x$ $f(x) = 1$ $f$ $f$ $f$ $f$

Deixe-me ser um pouco mais concreto sobre o que é um elevador no estilo Martin, mas verifique as postagens de Gowers para obter definições técnicas. Um aumento no estilo Martin (na terminologia de Gowers, "Ramsey") é um aumento para um jogo de especificar algumas coordenadas por coordenadas, onde é o universo e é potencialmente maior que , mas agora o vencedor A condição é muito simples: se o jogador I ou II vence é decidido com base no valor de uma única coordenada de . Como na prova de Martin, um aumento deve preservar as estratégias vencedoras. $y \in U$ $U$ $2^n$ $y$

A esperança de que isso possa evitar a barreira das provas naturais baseia-se na intuição de que a propriedade "faz o estilo Martin subir para um pequeno universo" provavelmente não é fácil de calcular. Mas, neste ponto, não está claro se a função de paridade tem ascensão para um pequeno universo. Preocupo- me que a analogia apropriada aos conjuntos de Borel possa ser funções em AC0: encontrar um pequeno aumento da paridade colocaria pelo menos essa preocupação em repouso. $f$

Sasho Nikolov
fonte

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

Obrigado @ Josh! Aparentemente, essa analogia era uma intuição por trás da prova de que a paridade não está em AC0.

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