Leitor, Mônadas de escritor

Seja um CCC . Deixe ser um produto em bifunctor . Como Cat é CCC, podemos curry :$C$$(\times)$$C$$(\times)$

$curry (\times) : C \rightarrow(C \Rightarrow C)$

$curry (\times) A = \lambda B. A \times B$

A categoria de funções possui estrutura monoidal usual. $C \Rightarrow C$ Um monóide em é um mônade em . $C \Rightarrow C$$C$ Consideramos produtos finitos como a estrutura monoidal em .$C$

$curry (\times) 1 \cong id$

$\forall A\ B. curry (\times) (A\times B) \cong (curry (\times) A) \circ (curry (\times) B)$

Portanto preserva a estrutura monoidal, portanto transporta um monóide para uma mônada e um comonóide para uma comonada. Ou seja, ele transporta um monóide arbitrário para mônada (veja a definição - deve ser um monóide). Da mesma forma, transporta o comonóide diagonal para a comonada de Coreader.$(curry (\times))$$w$$(Writer\ w)$$w$

Agora, por concretude, desdobro a construção do Writer.

Início. Na verdade , eles simplesmente têm nomes distintos em Haskell. Temos um monóide Haskell :$Writer = Coreader = curry(\times)$ $\langle w, mappend, mempty\rangle$

$mappend : w\times w \to w$

$mempty : 1 \to w$

O Writer é um functor, portanto deve mapear também morfismos, como e . Eu escrevo isso como abaixo, embora seja inválido em Haskell:$mappend$$mempty$

$Writer\ mappend : Writer(w\times w) \to Writer\ w$

$Writer\ mappend$ é uma transformação natural, um morfismo em . Por propriedades do , é uma função que recebe e fornece um morfismo em :$C\Rightarrow C$$curry(\times)$$a \in Ob(C)$$C$

$Writer\ mappend\ a = mappend\times(id(a)) : Writer (w\times w) a \to Writer\ w\ a$

Informalmente, o soma componentes do tipo bombeia$Writer\ mappend\ a$$w$ intacto. Esta é exatamente a definição de Writer em Haskell. Um obstáculo é que, para a Mônada ⟨ W r i t e r w , μ , r | ⟩ Precisamos$a$$\langle Writer\ w,\mu,\eta\rangle$

$\mu : Writer\ w \circ Writer\ w \to Writer\ w$

ou seja, incompatibilidade de tipos. Mas esses functores são isomórficos: pelo associador usual de produtos finitos, que é um isomorfismo natural . Em seguida, definimos via . Eu omito a construção de via .$Writer (w\times w) = \lambda a. (w\times w)\times a$$\cong \lambda a. w\times(w\times a) = Writer\ w \circ Writer\ w$$\mu$$Writer\ mappend$$\eta$$mempty$

O Writer, sendo um functor, preserva diagramas comutativos, ou seja, preserva as igualidades monóides, por isso temos garantido igualdades comprovadas para = um monóide em = uma mônada em . Fim.$\langle Writer\ w,\mu,\eta\rangle$$(C\Rightarrow C)$$C$

E o Reader e o Cowriter? O Reader é adjacente ao Coreader, conforme explicado na definição de Coreader, veja o link acima. Da mesma forma, o Cowriter é adjacente ao Writer. Como não encontrei uma definição de Cowriter, criei-a por analogia mostrada na tabela:

{- base, Hackage.category-extras -}
import Control.Comonad
import Data.Monoid
data Cowriter w a = Cowriter (w -> a)
instance Functor (Cowriter w) where
    fmap f (Cowriter g) = Cowriter (f . g)
instance Monoid w => Copointed (Cowriter w) where
    extract (Cowriter g) = g mempty
instance Monoid w => Comonad (Cowriter w) where
    duplicate (Cowriter g) = Cowriter
        (\w' -> Cowriter (\w -> g (w `mappend` w')))

Abaixo estão as definições simplificadas dessas (co) mônadas. fr_ob F indica um mapeamento de um functor F em objetos, fr_mor F indica um mapeamento de um functor F em morfismos. Existe um objecto monóide em .$\langle w,\hat{+},\hat{0}\rangle$$C$

• Escritor
  • $fr\_ob (Writer\ w) a = a\times w$
  • $fr\_mor (Writer\ w) f = \lambda \langle a_0,w_2\rangle. \langle a_0,f\ w_2\rangle$
  • $\eta a = \lambda a_0. \langle a_0, \hat{0} \rangle$
  • $\mu a = \lambda \langle \langle a_0,w_1\rangle,w_0\rangle. \langle a_0, w_0\hat{+}w_1\rangle$
• Leitor
  • $fr\_ob (Reader\ r) a = r\to a$
  • $fr\_mor (Reader\ r) f = \lambda g\ r_0. f (g\ r_0)$
  • $\eta a = \lambda a_0\ r_0. a_0$
  • $\mu a = \lambda f\ r_0. f\ r_0\ r_0$
• Coreader
  • $fr\_ob (Coreader\ r) a = r\times a$
  • $fr\_mor (Coreader\ r) f = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. \langle f\ r_0,a_0\rangle$
  • $\eta a = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. a_0$
  • $\mu a = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. \langle r_0,\langle r_0,a_0\rangle\rangle$
• Cowriter
  • $fr\_ob (Cowriter\ w) a = w\to a$
  • $fr\_mor (Cowriter\ w) f = \lambda g\ r_0. f (g\ r_0)$
  • $\eta a = \lambda f. f\ \hat{0}$
  • $\mu a = \lambda f\ w_1 w_0. f (w_0\hat{+}w_1)$

A questão é que a adjunção em relaciona functores, não mônadas. Não vejo como a adjunção implica "Coreader é uma comonada" "Reader é uma mônada" e "Writer é uma mônada" "Cowriter é uma comonada".$C$$\to$$\to$

Observação. Estou lutando para fornecer mais contexto. Requer algum trabalho. Especialmente, se você precisar de pureza categórica e essas (co) mônadas foram introduzidas para programadores. Continue importunando! ;)

Sim, se uma mônada tiver um N adjacente correto , N herdará automaticamente uma estrutura de comonada.$M : C \to C$$N$$N$

O cenário teórico geral da categoria para entender isso é o seguinte. Sejam e D duas categorias. Faça F u n ( C , D ) para a categeory de functors de C para D ; Seus objetos são functores e seus morfismos transformações naturais. Faça F u n G ( C , D ) para a subcategoria completo de F u n ( C , D $C$$D$$\mathrm{Fun}(C, D)$$C$$D$$\mathrm{Fun}^L(C, D)$$\mathrm{Fun}(C, D)$nos functores que possuem adjuntos corretos (em outras palavras, consideramos os functores com adjuntos corretos e transformações naturais arbitrárias entre eles). Faça F R : D → C para o adjunto direito de um functor F : C → D . Em seguida, - R : F u n G ( C , D ) → F u n ( D , C ) é um funtor contravariante: se α : F $C \to D$$F^R : D \to C$$F : C \to D$$-^R : \mathrm{Fun}^L(C, D) \to \mathrm{Fun}(D, C)$ é uma transformação natural, em seguida, existe uma transformação induzida naturais α R : G R → F R .$\alpha : F \to G$$\alpha^R : G^R \to F^R$

Se , em seguida, F u n ( C , C ) tem uma estrutura monoidal dada pela composição e o mesmo acontece com F u n G ( C , D ) , porque a composição de adjuntos esquerda é um adjunto esquerdo. Especificamente, ( F G ) R = G R F R , então - R é um função contravariante antimonoidal. Se você aplicar - R às transformações naturais estruturais que equipam um functor $C = D$$\mathrm{Fun}(C, C)$$\mathrm{Fun}^L(C, D)$$(FG)^R = G^R F^R$$-^R$$-^R$$M$ com a estrutura de uma mônada, o que você ganha é uma comonada.

A propósito, isso:

Deixe ser um produto em bifunctor C . Como C é CCC, podemos curry ( × $(\times)$$C$$C$$(\times)$

está um pouco incorreto. Por um lado, a terminologia usual seria (se não me engano) que é um bifunctor sobre ou em C . "In" normalmente significa construções usando as setas e objetos de uma categoria, enquanto que os functors "on" categorias se referem a construções relacionadas a várias categorias. E o bifuncor de produto não é uma construção dentro de uma categoria cartesiana.$\times$$C$

E isso está relacionado à maior imprecisão: a capacidade de curry o bifunctor do produto não tem nada a ver com sendo fechado cartesiano. Pelo contrário, é possível porque C a t , a categoria de categorias (advertências de inserção) é fechada cartesiana. Portanto, o curry em questão é dado por:$C$$Cat$

onde é um produto de categorias, e E D é a categoria de functors F : D → E . Isso funciona independentemente de C , D e E serem fechados cartesianos, no entanto. Quando deixamos C = D = E , obtemos:$C \times D$$E^D$$F : D \to E$$C$$D$$E$$C = D = E$

c u r r y × : C → C

Mas este é apenas um caso especial de:

c u r r y F : C → E

Considere a adjunção . Para cada tal adjunção temos uma mônada ⟨ G F , η , G ε F ⟩ e também um comonad ⟨ F G , ε , F η G ⟩ . Notavelmente, F e G não precisam ser endofuncionais e, em geral, não são (por exemplo, a mônada da lista é um complemento entre os funções livres e esquecidas entre S e t e M o $\langle F,G,\epsilon,\eta \rangle$$\langle GF, \eta, G\epsilon F\rangle$$\langle FG, \epsilon, F\eta G\rangle$$F$$G$$\mathbf{Set}$$\mathbf{Mon}$)

Então, o que você quer fazer é pegar o Reader (ou o Writer) e decompô-lo nos functores adjacentes que dão origem à mônada e à comonada correspondente. O que significa que a conexão entre o Reader e o Coreader (ou o Writer e o Cowriter) não é a que você está procurando.

E provavelmente é melhor pensar em currying como , ou seja, ∀ X , Y . { f : X × A → Y } ≅ { f ∗ : X → Y A } . Ou, se ajudar, - ∗ : hom ( - × A $-^\ast : \text{hom}({-}\times A, {=}) \cong \text{hom}({-}, {=}^A)$$\forall X,Y.~ \lbrace f : X\times A \to Y \rbrace \cong \lbrace f^\ast : X \to Y^A \rbrace$$-^\ast : \text{hom}({-}\times A, {=}\times 1) \cong \text{hom}({-}^1, {=}^A)$