Li o artigo de Freyd "Algebraically Complete Categories" no famoso Como90 e tenho duas perguntas sobre a noção de compacidade algébrica que ele definiu nesse artigo. (Se você não está familiarizado com a definição, aqui está: Uma categoria é chamada algebricamente compacta se todo endofuncor tiver uma álgebra inicial e uma co-álgebra final que são canonicamente isomórficas.)
Quais são alguns exemplos de categorias algébricas compactas? Freyd menciona um exemplo, mas, estritamente falando, a condição na definição se aplica apenas a certos endofunitores de interesse. Ao ler outros artigos (como "Programação Funcional com Bananas, Lentes, Envelopes e Arame Farpado"), acho que essa categoria de cpo, ômega-cpo ou categorias enriquecidas com (omega-) cpo é algebricamente compacta. Qual é a referência padrão para esse fato?
Freyd diz que a definição é motivada pelo "principal da versalidade" e, sendo um falante não-nativo do inglês, estou confuso. Antes de tudo, acho que deve ser princípio, não principal. Também o que é versalidade? Ele quer dizer versatilidade? Isso é um jogo de palavras como (uni) versalidade?
Respostas:
Encontrei a referência para categorias do tipo CPO. Artigo de Scott Malhas Contínuas no livro Toposes, Geometria Algébrica e Lógica . É explicado nos comentários logo após o corolário 4.3. Um teorema mais geral pode ser encontrado no artigo de Smyth e Plotkin, solução teórica por categoria de equações de domínio recursivo . É o lema 2.
No entanto, novamente, os functores não são arbitrários. É preciso algum tipo de suposição de continuidade.
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