Teoremas da hierarquia são ferramentas fundamentais. Um bom número deles foi coletado em uma pergunta anterior (consulte Quais hierarquias e / ou teoremas de hierarquia você conhece? ). Algumas separações de classes de complexidade seguem diretamente dos teoremas da hierarquia. Exemplos de tais separações bem conhecidos: , , , .
No entanto, nem toda separação segue um teorema da hierarquia. Um exemplo muito simples é . Mesmo que nós não sabemos se algum deles contém o outro, eles ainda são diferentes, porque é fechado com respeito às transformações polinomiais, enquanto não é.
Quais são algumas separações de classes de complexidade mais profundas, incondicionais e não relativizadas para classes uniformes que não seguem diretamente de algum teorema da hierarquia?
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Respostas:
Eu adoraria ser mostrado errado, mas atualmente não acho que haja limites inferiores uniformes que não sejam baseados em um dos teoremas da hierarquia. Nosso entendimento atual de como tirar proveito da uniformidade é realmente bastante limitado nesse sentido.
Por outro lado, existem muitos limites inferiores uniformes que não seguem diretamente dos teoremas da hierarquia, mas usam um teorema da hierarquia em combinação com outros truques, técnicas e resultados inteligentes, por exemplo:
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A separação de Smolensky é algo que você estava procurando?A C0 0⊊ T C0 0
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Outro exemplo não trivial vem da área de complexidade média de casos. Rainer Schuler prova propriedades interessantes da classe que chama de , ver [1].PP- c o m p
é a classe de idiomas que são aceitos no tempo polinomial em μ- média paracadadistribuição computável em tempo polinomial (p-computável) μ . Naturalmente, P ⊆ P P - c o m p detém, pois a existência de um algoritmo determinista polytime implica que continua a ser eficiente em média, não importa o que a distribuição de entrada é. No entanto, a condição de execução no tempo polinomial médio paracadadistribuição de entrada computávelemP parece forte o suficiente para suspeitar de P P -PP- c o m p μ μ P⊆ PP- c o m p .PP- c o m p= P
Surpreendentemente, Schuler prova que existe uma língua , que é Turing completo para E , isto é, E ⊆ P P P - c o m pL ∈ PP- c o m p E
Isto implica a separação incondicional P P - c o m p ≠ P . Enquanto o último também usa o fato de E
Referência:
[1] R. Schuler, "O fechamento da tabela da verdade e o fechamento de Turing do tempo polinomial médio têm medidas diferentes em EXP", CCC 1996, pdf
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