Em Computação Quântica e Informações Quânticas de Nielsen e Chuang, eles dizem que muitos dos algoritmos baseados nas transformações quânticas de Fourier dependem da propriedade Invariância Coset das transformadas Fourier e sugerem que as propriedades invariáveis de outras transformações podem gerar novos algoritmos.
Houve alguma pesquisa frutífera sobre outras transformações?
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Sam Burville
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Respostas:
Gostaria de acrescentar mais algumas referências ao comentário de Scott:
De fato, as transformadas de Clebsch-Gordan (que você pode considerar transformadas de Fourier quânticas com vários registros) são uma ferramenta útil no design de algoritmos quânticos para problemas de subgrupos ocultos (HSPs) não abelianos.
As transformadas de Clebsch-Gordan foram usadas por Greg Kuperberg e Oded Regev para resolver o HSP diédrico em tempo subexponencial (ainda que superpolinomial). Esses algoritmos quânticos não são eficientes, mas têm uma complexidade de consulta melhor que os algoritmos clássicos.
Dave Bacon também usou transformações de Clebsch-Gordan para resolver o problema de subgrupo oculto (HSP) no grupo Heisenberg em tempo polinomial. Posso recomendar esse papel porque é bem claro.Z2p⋊Zp
Também estou escrevendo para acrescentar que não devemos esquecer que as transformações quânticas de Fourier e de Clebsch-Gordan nem sempre são indispensáveis, mesmo que possam ser muito úteis.
No algoritmo de Shor (ou mesmo na estimativa da fase quântica), as transformadas de Fourier podem ser substituídas pelos testes de Hadamard , portanto, usando apenas portas Hadamard em vez de transformadas de Fourier: esse truque é devido ao Kitaev e você pode ler aqui .
Existe ainda outro algoritmo eficiente para o HSP sobre , de Bacon, Childs, Van Dam, que não usa transformações de Clebsch-Gordan. Em vez disso, o algoritmo usa um certo tipo de poderoso POVM conhecido como Pretty Good Measurement.Z2p⋊Zp
Obviamente, esta lista provavelmente está incompleta. Espero que alguém aponte outros resultados que ainda não foram mencionados.
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Não tenho certeza se isso está diretamente relacionado à sua pergunta, mas a leitura me fez pensar em um artigo de Peter Høyer que li alguns anos atrás. Nele, ele mostra como os algoritmos quânticos mais populares, como Grover ou Shor, seguem o mesmo padrão de aplicação do que ele chama de "operadores conjugados" e constrói novos algoritmos também baseados no mesmo padrão.
Como eu disse, já faz alguns anos desde que eu a li, então minha descrição é um pouco superficial, mas aqui está o link, caso você queira dar uma olhada.
http://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.59.3280
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