Como encontrar problemas interessantes de pesquisa

Apesar de vários anos de aula, ainda estou perdido quando se trata de escolher um tópico de pesquisa. Estive olhando documentos de diferentes áreas e conversei com professores e estou começando a pensar que essa é a abordagem errada.

Eu li que ajuda a encontrar um problema interessante (não se preocupe com a área) e, então, trabalhar nisso. Os livros didáticos mencionam os famosos não resolvidos, mas eu não gostaria de enfrentá-los diretamente. Os trabalhos de pesquisa mencionaram apenas resultados positivos, não tentativas fracassadas.

Como posso encontrar problemas interessantes de pesquisa? Como você encontra problemas de pesquisa interessantes? Tem a lista em algum lugar?

Como você decide se vale a pena trabalhar em um problema específico?

Discordo totalmente da abordagem "encontre uma lista de problemas abertos". Normalmente, problemas abertos são bastante difíceis de avançar, e não estou convencido de que uma boa pesquisa seja feita, abordando algum problema difícil, mas desinteressante, em uma área técnica.

Dito isto, é claro que resolver um problema em aberto é realmente bom para credenciais acadêmicas. Mas não é isso que você está perguntando.

A pesquisa é um processo projetado para gerar entendimento em alto nível. A solução de problemas técnicos é um meio para esse fim: geralmente o problema e sua solução iluminam a estrutura ou o comportamento de algum fenômeno científico (uma estrutura matemática, uma prática de linguagem de programação etc.).

Então, minha primeira sugestão é: encontre um problema que você queira entender. A pesquisa é fundamentalmente sobre confusão. Há alguns tópicos específicos nos quais você está interessado, mas que você sente que tem uma compreensão fundamentalmente incompleta ou que parece tecnicamente claro, mas que não tem boa intuição? Esses são bons pontos de partida. Siga o conselho de Terry Tao faça perguntas idiotas! Muitas boas pesquisas resultam dessas considerações. De fato, esta página inteira contém muitos bons conselhos. Observe que, se você estiver olhando para um problema ou campo bem explorado, é improvável que obtenha informações originais imediatamente, por isso é importante ler a literatura simultaneamente com suas próprias explorações.

Segundo, não descarte a comunicação com seus professores. Pergunte a eles sobre suas próprias pesquisas, não necessariamente sobre os projetos que desejam oferecer a você. Participe de uma conversa! Isso ajuda a descobrir em que você está interessado, mas também como é o cenário da pesquisa em seu campo. A pesquisa não ocorre no vácuo; portanto, você deve falar com seus colegas, doutorados em seu departamento, participar de palestras e workshops na sua universidade etc. Você descobrirá que estar imerso em um ambiente de pesquisa ajuda a pesquisar um muito mais do que encontrar uma lista ou problema específico e trancar-se em seu escritório.

Por fim, sugiro trabalhar em algo pequeno . A pesquisa é de baixo para cima muito mais do que de cima para baixo, e é raro que uma tarefa muito simples (escrever uma prova ou um programa) seja tão simples quanto você esperava. Realizar vários projetos pequenos que não têm escala de pesquisa (expandindo a lição de casa, redigindo uma explicação de algo que você aprendeu) geralmente se transforma em coisas genuínas no nível da pesquisa. É comum tentar "crescer" no começo, mas é agora que nosso cérebro funciona.

David Hilbert é um matemático de renome. Ele apresentou uma lista de 23 problemas não resolvidos no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris em 1900.
Eu só quero citar parte da entrevista de Yuri Manin intitulada "Boas provas são provas que nos tornam mais sábios" sobre Hilbert e sua lista:

O Congresso Internacional deste ano é o último ICM deste século. Você acha que um Hilbert ainda é possível? Existem problemas contemporâneos correspondentes aos problemas de Hilbert?
Na verdade, não acredito que a lista de Hilbert tenha tido um grande papel na matemática deste século. Certamente era psicologicamente importante para muitos matemáticos. Por exemplo, Arnold contou que, ainda jovem, copiava a lista de problemas de Hilbert em seu caderno e sempre a acompanhava. Mas quando Gelfand soube disso, ele realmente zombou de Arnold. Arnold via a solução de problemas como parte essencial de grandes realizações matemáticas. Para mim é diferente. Vejo o processo de criações matemáticas como uma espécie de reconhecimento de um padrão preexistente. Quando você estuda algo - topologia, probabilidade, teoria dos números, o que for - primeiro você adquire uma visão geral do vasto território, depois se concentra em uma parte dele. Mais tarde, você tenta reconhecer "o que há?" E "o que já foi visto por outras pessoas?".
A ênfase nos problemas resolve um tipo de visão romântica: um grande herói que conquista a montanha?
Sim, de alguma forma, uma espécie de visão esportiva. Eu não digo que é irrelevante. É muito importante para os jovens, como um dispositivo psicológico, atrair os jovens a criar algum reconhecimento social por grandes realizações. Um bom problema é a incorporação de uma visão de uma grande mente matemática, que não conseguia ver os caminhos que levavam a certa altura, mas que reconhecia que existe uma montanha. Mas não é uma maneira de ver a matemática, nem a maneira de apresentá-la a um público em geral. E não é a essência. Especialmente quando esses problemas são colocados na lista, é algo como uma lista de capitais dos grandes países do mundo: transmite o mínimo possível de informações. Na verdade, não acredito que Hilbert tenha pensado que é assim que se organiza a matemática.

essa é, em última análise, uma questão subjetiva e pessoal e "a longo prazo", que problemas são considerados importantes até certo ponto, entram e saem da moda científica, mas pode haver algumas diretrizes comuns grosseiras com as quais muitos concordariam e também os principais especialistas. considerou a questão. problemas são bastante onipresentes e é mais um processo de reduzi-lo.

• O número 1 na lista é quase sempre, fale com seu consultor! isso faz parte do trabalho deles e, se ele / ela não tiver idéias, talvez isso não seja um grande sinal e considere que você pode se beneficiar ou precisar de outro.

• Em que muitas pessoas da sua universidade estão trabalhando? cada universidade normalmente possui especializações específicas e haverá entusiasmo ou mesmo entusiasmo por áreas / problemas específicos.

• veja os prêmios em campo para ver quais áreas eles estudam ou prêmios. no TCS, seu prêmio Turing , prêmio Godel , prêmio Nevanlinna , prêmios Millenium . obviamente, estes são para trabalhos muito avançados / inovadores, mas por natureza todos eles abrangem grandes áreas onde há trabalho incremental.

• Os principais blogs do TCS são uma excelente fonte de estímulo ao interesse da comunidade em vários problemas.

também para responder a essa pergunta, pode ser interessante "voltar às raízes" no sentido a seguir. um dos mestres lendários nessa área entre os melhores antecedentes possíveis é Hilbert, o matemático, e muitas de suas idéias fundamentais sobre a seleção de problemas se aplicam e merecem revisão / estudo. muitos de seus problemas em aberto que conduziam a matemática na virada do século 20 acabaram por ter conexões incríveis / profundas com a teoria algorítmica, por exemplo, indecidibilidade, por exemplo, thm de Godel, o problema de Halting e o décimo principal problema . suas opiniões são resumidas por Lagarias, seção 9, na avaliação da conjectura de Collatz como um "bom problema":

É difícil e muitas vezes impossível julgar o valor de um problema corretamente com antecedência; pois o prêmio final depende do ganho que a ciência obtém do problema. Não obstante, podemos perguntar se existem critérios gerais que marcam um bom problema matemático. Um antigo matemático francês disse: “Uma teoria matemática não deve ser considerada completa até que você tenha deixado tão claro que pode explicá-la ao primeiro homem que encontrar na rua.” Essa clareza e facilidade de compreensão aqui insistiam em para uma teoria matemática, eu exigiria ainda mais um problema matemático para que ele seja perfeito; pois o que é claro e de fácil compreensão atrai, o complicado nos repele. Além disso, um problema matemático deve ser difícil para nos atrair, mas não completamente inacessível, para que zombe de nossos esforços. Deveria ser para nós um guia sobre os caminhos confusos das verdades ocultas e, finalmente, um lembrete do nosso prazer em sua solução bem-sucedida.

Lagarias resume esses elementos como:

1. O problema é claro e simplesmente afirmado?
2. É um problema difícil?
3. Parece acessível e não "zomba de nossos esforços para resolvê-lo"?

infelizmente, muitos problemas em aberto falham no número 3, mas, como mencionado, sempre há problemas e relaxamentos próximos que são considerados mais acessíveis, e mesmo a formulação desses relaxamentos pode ser considerada parte de uma pesquisa válida.