A barreira das provas naturais de Razborov e Rudich afirma que, sob suposições criptográficas confiáveis, não se pode esperar separar NP de P / poly encontrando propriedades combinatórias de funções construtivas, grandes e úteis. Existem vários resultados bem conhecidos que conseguem escapar à barreira. Também existem vários artigos discutindo possíveis brechas nas três condições, como resultado de Chow mostrando que a barreira é sensível a violações fracas da grandeza, e um artigo recente de Chapman e Williamssugerindo como potencialmente evitar a barreira relaxando a condição de utilidade. Minha pergunta é se existem exemplos, ou mesmo a possibilidade, de evitar a barreira das provas naturais, não violando a construtividade, a grandeza ou a utilidade, mas ficando totalmente fora do seu escopo. Ou seja, não é absolutamente óbvio para mim o porquê de todo método potencial de prova precisar se basear na localização de "propriedades" combinatórias e no particionamento de todas as funções naquelas que atendem e não atendem à propriedade. Por que essa estrutura de operação se aplica a todas as provas possíveis e, se não, como seriam os outros tipos de provas?
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Respostas:
Seja seja uma função e deixe C ser uma classe de algoritmos que trabalham em fatias finitas de f . Cada circuito limite inferior tudo o que é uma prova de que f ∉ C , para alguns f e alguns C . Considere a "propriedade combinatória das funções booleanas" P f , de modo quef: { 0 , 1 }∗→ { 0 , 1 } C f f∉ C f C Pf
e P f (g)=0para todos osg≠f.Pf( f) = 1 Pf( g) = 0 g≠f
Uma prova de que é uma prova de que P f é útil contra C , na terminologia de Razborov e Rudich. Ou seja, "utilidade" é totalmente inevitável - não há como "ficar fora do seu escopo". Se você provou ser um limite inferior do circuito, forneceu algumas propriedades úteis.f∉C Pf C
Note que, se , então P f também é construtivo, na terminologia de Razborov e Rudich. Assim, para as funções de f calculável dentro E , mas não no (por exemplo) P / p o l y , construtividade também se aplica a pelo menos uma propriedade de funções booleanas que é útil contra P / p o l y .f∈TIME[2O(n)] Pf f E P/poly P/poly
Então, Razborov e Rudich são mais fundamentais do que você imagina inicialmente.
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Você está certo: o teorema das provas naturais é sobre propriedades naturais (e apenas informalmente sobre provas). O próprio Razborov escreveu dois trabalhos na mesma época, analisando a classe de provas formais e os limites inferiores da complexidade:
O primeiro estuda a formalização de provas de limite inferior existentes em fragmentos aritméticos fracos (limites superiores na dureza de provar limites inferiores da teoria da complexidade).
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