Diversão com Ackermann inverso

A função inversa de Ackermann ocorre frequentemente ao analisar algoritmos. Uma ótima apresentação está aqui: http://www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann .

α_{1} (n) = [n / 2]

$\alpha_1(n) = [n/2]$

α_{2} (n) = [\log_{2} n]

$\alpha_2(n) = [\log_2 n]$

α_{3} (n) = \log^{*} n

$\alpha_3(n) = \log^* n$

. . .

$...$

α_{k} (n) = 1 + α_{k} (α_{k - 1} (n))

$\alpha_k(n) = 1 + \alpha_k(\alpha_{k−1}(n))$

α (n) = min {k : α_{k} (n) \leq 3}

$\alpha(n) = \min\{k: \alpha_k(n)\leq 3\}$

Minha pergunta é: Qual é a função Claramente . Que limites mais estreitos podemos dar em ? É ?

k (n) = min {k : α_{k} (n) \leq k}

$k(n) = \min \{k: \alpha_k(n) \leq k\}$

1 ≪ k (n) \leq α (n)

$1\ll k(n) \leq \alpha(n)$

k (n)

$k(n)$

k (n) \leq \log α (n)

$k(n) \leq \log\alpha(n)$

ds.algorithms ds.data-structures bounds Dana Moshkovitz
fonte

Eu sei por que , mas você poderia explicar por que é ?

k (n) \leq α (n)

$k(n) \leq \alpha(n)$

k (n) ≪ α (n)

$k(n) \ll \alpha(n)$

Jbapple

Ok, editado para o incontroverso .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

Dana Moshkovitz

@DanaMoshkovitz: Eu aproximadas as definições usando a hierarquia de Ackermann eu sou familiarizados com: e . Com uma definição típica das funções de Ackermann, . Portanto, se então , ou seja, . (Espero não ter cometido um erro lá dentro.)

α (n) = min {k : A_{k} (1) \geq n}

$\alpha(n)=\min\{k: A_k(1)\geq n\}$

k (n) = min {k : A_{k} (k) \geq n}

$k(n)=\min\{k:A_k(k)\geq n\}$

A_{k + 1} (1) = A_{k} (A_{k} (1)) \geq A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)=A_k(A_k(1))\geq A_k(k)$

A_{k} (k) \geq n

$A_k(k)\geq n$

A_{k + 1} (1) \geq n

$A_{k+1}(1)\geq n$

k (n) \geq α (n) - 1

$k(n)\geq\alpha(n)-1$

Sylvain

@DanaMoshkovitz: para esclarecer, estou usando e , que cresce um pouco mais rápido que sua definição, por exemplo, vez de . Ele não deve ter muito de uma conseqüência porém: e são praticamente a mesma coisa.

A_{1} (n) = 2 n

$A_1(n)=2n$

A_{k + 1} (n) = A_{k}^{n + 1} (1)

$A_{k+1}(n)=A_k^{n+1}(1)$

A_{2} (n) = 2^{n + 1}

$A_2(n)=2^{n+1}$

2^{n}

$2^n$

α (n)

$\alpha(n)$

k (n)

$k(n)$

21415 Sylvain

@DanaMoshkovitz: Não vejo por que . Para infinitos valores de você terá , ou seja, sempre que ; porque cresce rapidamente, você tem cada vez mais essas seqüências. Com suas definições, é possível ter : portanto mas .

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

n

$n$

α (n) = k (n)

$\alpha(n)=k(n)$

A_{k} (k) < n \leq A_{k + 1} (1) < A_{k + 1} (k + 1)

$A_k(k)<n\leq A_{k+1}(1)<A_{k+1}(k+1)$

A_{k + 1} (1) - A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)-A_k(k)$

α (n) < k (n)

$\alpha(n)<k(n)$

α_{2} (8) = 3 > 2

$\alpha_2(8)=3>2$

α (8) = 2

$\alpha(8)=2$

k (8) = 3

$k(8)=3$

22415 Sylvain

Respostas:

Seja o inverso de . . Eu afirmo que . $A_k$ $\alpha_k$ $A_1(x) = 2x, A_2(x) = 2^x, \dots$ $k^{-1}(x) = A_x(x)$

Como e desde , . Como resultado, . $x = \alpha_x(A_x(x))$ $\forall z, \alpha_y(z) > \alpha_x(z)$ $\alpha_y(A_x(x)) > \alpha_x(A_x(x)) = x$ $k(A_x(x)) = x$

Agora considere o valor de . Por definição de , é . Sabemos que , então . Eu afirmo que . . Agora , então . Como , , então . Assim, $\alpha(k^{-1}(n)) = \alpha(A_n(n))$ $\alpha$ $\min_z \{\alpha_z(A_n(n)) \leq 3\}$ $\alpha_n(A_n(n)) = n$ $\alpha(A_n(n)) > n$ $\alpha(A_n(n)) \leq n+2$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) = 1+\alpha_{n+1}(n)$ $\alpha(n) = \min_z\{\alpha_z(n) \leq 3\}$ $\alpha_{\alpha(n)}(n) \leq 3$ $n+1 > \alpha(n)$ $\alpha_{n+1}(n) \leq 3$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) \leq 4$ $\alpha_{n+2}(A_n(n)) = 1 + \alpha_{n+2}(\alpha_{n+1}(n)) \leq 1 + \alpha_{n+2}(4) \leq 3$ .

Portanto, temos ; portanto, e são essencialmente iguais. $n < \alpha(k^{-1}(n)) \leq n+2$ $k$ $\alpha$

jbapple
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E deixe-me acrescentar que todas estas funções são apenas diferentes maneiras complicadas de escrever o número 4.

Sariel Har-Peled

Isso está incorreto; veja os comentários.

Uma função muito próxima a essa foi chamada " " e usada nas "Splay Trees, Davenport-Schinzel Sequences e Deque Conjecture de Pettie" , nas quais ele mostrou que " operações de deque [em uma árvore de dispersão] somente tempo, onde é o número mínimo de aplicações da função inversa de Ackermann que mapeia para uma constante ". $\alpha^*$ $n$ $O(n\alpha^*(n))$ $\alpha^*(n)$ $n$

Essa função é muito lenta e cresce mais lentamente que . Considere a função $\log \alpha(n)$ $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

f (n) = {\begin{cases} 1 & n = 0 \\ 2^{f (n - 1)} & n > 0 \end{cases}

$f(n) = \cases{1 & n = 0\\2^{f(n-1)} & n > 0}$

Essa função cresce aproximadamente tão rapidamente quanto , e cresce mais lentamente que . Agora vou avaliar e em : $A(4,n)$ $A'(n) = A(n,n)$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$ $A'(f(n))$

\log α (A^{'} (f (n))) = \log f (n) = f (n - 1)

$\log \alpha(A'(f(n))) = \log f(n) = f(n-1)$

α^{*} (A^{'} (f (n))) = 1 + α^{*} (f (n)) < 1 + α^{*} (A^{'} (n)) < 2 + α^{*} (n)

$\alpha^*(A'(f(n))) = 1 + \alpha^*(f(n)) < 1 + \alpha^*(A'(n)) < 2 + \alpha^*(n)$

~~Como , cresce muito mais rapidamente do que . $f(n-1) \in \omega(2+\alpha^*(n))$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$~~

jbapple
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Qual é a relação entre alpha ^ * ek (n)? (note que na definição de k (n) eu uso o alpha_k notação (n) definido no link que eu tinha na questão)

Dana Moshkovitz

Desculpe, li seu como !

α_{k}

$\alpha_k$

α^{k}

$\alpha^k$

Jbapple