Nova prova de lema de bombeamento para idiomas regulares

Seja a família de todos os idiomas acima do satisfazendo a propriedade de bombeamento dos idiomas regulares. Ou seja: para cada , há um cada palavra , pode ser escrita no formato onde: 1. , 2. , 3. para todos os .$\mathcal{L}$$\Sigma$$L\in\mathcal{L}$$N\in\mathbb{N}$$w\in L$$|w|> N$$w=xyz$$|y|>0$$|xy|\le N$$xy^i z\in L$$i\ge 0$

É um exercício simples [1] para provar que contém os idiomas singleton , e está fechado sob união, concatenação e estrela de Kleene. Também é sabido que a família de idiomas regulares é a menor que contém os singletons e é fechada sob a união, concatenação e estrela de Kleene. Conclusão: as linguagens regulares satisfazem a propriedade de bombeamento.$\mathcal{L}$$L=\{\sigma\}$$\sigma\in\Sigma$

Pergunta: alguém viu essa prova na literatura? [1] Proposto por D. Berend.

Essencialmente, o mesmo argumento é apresentado por Andries PJ van der Walt (1976, Lema 2.3 e Exemplo 2.9) para a variante do lema de bombeamento onde letras são marcadas e todos os três de , , devem conter letras marcadas. Veja também Autebert, Boasson e Cousineau (1978) para obter mais propriedades de famílias abstratas de idiomas que satisfazem essa variante do lema de bombeamento.$N$$x$$y$$z$