O teorema de Savitch mostra que para todas as funções suficientemente grandes , e provar que isso é restrito tem sido um problema aberto por décadas .f
Suponha que abordemos o problema do outro lado. Para simplificar, assuma o alfabeto booleano. A quantidade de espaço usada por uma TM para decidir uma linguagem computável geralmente está intimamente relacionada ao logaritmo do número de estados usados pelo autômato que simula a TM para cada fatia regular de um idioma. Isso motiva a seguinte pergunta.
Seja o número de sintaticamente distintos com n estados e N_n seja o número de NFAs distintos com n estados. É simples mostrar que \ lg N_n está próximo de (\ lg D_n) ^ 2 . n N n n lg N n ( lg D n ) 2
Além disso, seja o número de idiomas regulares distintos que podem ser reconhecidos por um DFA com estados e seja o número reconhecido por um NFA.
Sabe-se se está próximo de ?
Não está claro para mim como e , ou e , estão relacionados entre si ou com que proximidade. Se tudo isso estiver relacionado a uma questão bem conhecida na teoria dos autômatos, uma dica ou ponteiro seria apreciado. A mesma pergunta também é relevante para os autômatos bidirecionais, devido ao mesmo raciocínio, e estou especialmente interessado nesta versão.
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Respostas:
No meu artigo com Domaratzki e Kisman, "Sobre o número de línguas distintas aceitas por autômatos finitos com n estados" publicado em J. Automata, Languages e Combinatorics 7 (2002), provamos que se é o número de distintas idiomas aceitos pelos NFAs com estados sobre um alfabeto de letras , e é similarmente o número de idiomas distintos aceitos pelos DFAs, depois para fixoGk( N ) n k gk( N ) k ≥ 2
(i) é, em termos de ordem menor, assintoticamenteregistrogk( N ) k n logn
(ii) é, em termos de ordem menor, assintoticamente entre e .registroGk( N ) ( k - 1 ) n2 k n2
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